Các dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên Toán 6 (đầy đủ, dễ hiểu nhất)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm, phân loại 5 dạng toán lũy thừa thường gặp nhất cùng hướng dẫn giải chi tiết từng bước mạch lạc.

I. Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nhớ

Để giải chính xác các bài toán, trước tiên các em cần thuộc lòng các công thức và quy ước nền tảng sau:

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của một số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, trong đó mỗi thừa số đều bằng $a$:

Trong ký hiệu lũy thừa:

• $a$ được gọi là cơ số.

• $n$ được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta thực hiện giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại với nhau:

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (với điều kiện cơ số phải khác 0), ta giữ nguyên cơ số và thực hiện trừ các số mũ cho nhau:

4. Công thức lũy thừa của lũy thừa

• Ví dụ: $(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

• Ví dụ: $3^3 \cdot 2^3 = (3 \cdot 2)^3 = 6^3$

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

• Ví dụ: $6^4 : 3^4 = (6 : 3)^4 = 2^4$

7. Một số quy ước toán học quan trọng

• Lũy thừa của cơ số 1 với số mũ bất kỳ luôn bằng 1: $1^n = 1$

• Lũy thừa với số mũ 0 của một số khác 0 luôn bằng 1: $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$)

• Ví dụ: $1^{2026} = 1$ và $2026^0 = 1$

II. Các Dạng Toán Lũy Thừa Và Phương Pháp Giải Chi Tiết

Dạng 1: Viết gọn một tích và tính giá trị của lũy thừa

• Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp định nghĩa lũy thừa để đếm số lượng thừa số giống nhau rồi đưa về dạng $a^n$. Khi tính giá trị hoặc so sánh, ta thực hiện khai triển lũy thừa thành phép nhân cụ thể để tính ra kết quả số học.

Bài 1: Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa:

• a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

• b) $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2$

• c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

• d) $100 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Lời giải:

• a) Có sáu thừa số 5 nhân với nhau, ta viết gọn thành: $5^6$

• b) Ta nhóm nhóm số hạng vế sau: $3 \cdot 2 = 6$, biểu thức trở thành tích của bốn thừa số 6:

  $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4$

• c) Có ba thừa số 2 và hai thừa số 3, ta viết gọn thành: $2^3 \cdot 3^2$

• d) Đưa số 100 về dạng lũy thừa của 10 là $10 \cdot 10$, biểu thức trở thành tích của năm thừa số 10:

  $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^5$

Bài 2: Tính giá trị cụ thể của các lũy thừa sau:

• a) $2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 2^8, 2^9, 2^{10}$

• b) $3^2, 3^3, 3^4, 3^5$

• c) $4^2, 4^3, 4^4$

• d) $5^2, 5^3, 5^4$

• e) $6^2, 6^3, 6^4$

Lời giải:

• a) Các lũy thừa của cơ số 2:

  $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

  $2^4 = 8 \cdot 2 = 16$

  $2^5 = 32$

  $2^6 = 64$

  $2^7 = 128$

  $2^8 = 256$

  $2^9 = 512$

  $2^{10} = 1024$

• b) Các lũy thừa của cơ số 3:

  $3^2 = 9$

  $3^3 = 27$

  $3^4 = 81$

  $3^5 = 243$

• c) Các lũy thừa của cơ số 4:

  $4^2 = 16$

  $4^3 = 64$

  $4^4 = 256$

• d) Các lũy thừa của cơ số 5:

  $5^2 = 25$

  $5^3 = 125$

  $5^4 = 625$

• e) Các lũy thừa của cơ số 6:

  $6^2 = 36$

  $6^3 = 216$

  $6^4 = 1296$

Bài 3: Bằng cách tính giá trị, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?

• a) $2^3$ và $3^2$

• b) $2^4$ và $4^2$

• c) $2^5$ và $5^2$

• d) $2^{10}$ và $100$

Lời giải:

• a) Ta có $2^3 = 8$ và $3^2 = 9$. Vì $8 < 9$ nên $2^3 < 3^2$.

• b) Ta có $2^4 = 16$ và $4^2 = 16$. Vì $16 = 16$ nên $2^4 = 4^2$.

• c) Ta có $2^5 = 32$ và $5^2 = 25$. Vì $32 > 25$ nên $2^5 > 5^2$.

• d) Ta có $2^{10} = 1024$. Vì $1024 > 100$ nên $2^{10} > 100$.

Bài 4: Viết gọn các tích sau dưới dạng một lũy thừa:

• a) $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$

• b) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 100 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^2 = 10^5$

• c) $2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{15}$

• d) $x \cdot x \cdot x \cdot x = x^4$

Dạng 2: Viết một số tự nhiên dưới dạng lũy thừa với số mũ lớn hơn 1

• Phương pháp giải: Thực hiện phân tích số tự nhiên đó ra thừa số nguyên tố, sau đó nhóm các thừa số giống nhau thành dạng lũy thừa thích hợp (bình phương, lập phương,...).

Bài 1: Thực hiện các yêu cầu sau:

• a) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 169; 196.

• b) Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 27; 125; 216.

Lời giải:

• a) Đưa về dạng bình phương (mũ 2):

  $64 = 8 \cdot 8 = 8^2$

  $169 = 13 \cdot 13 = 13^2$

  $196 = 14 \cdot 14 = 14^2$

• b) Đưa về dạng lập phương (mũ 3):

  $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

  $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$

  $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$

Bài 2: Trong các số sau đây, số nào có thể viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1: 8, 16, 20, 27, 60, 64, 81, 90, 100.

Lời giải:

Ta tiến hành phân tích và chọn lọc được các số sau:

$8 = 2^3$

$16 = 4^2 = 2^4$

$27 = 3^3$

$64 = 8^2 = 4^3 = 2^6$

$81 = 9^2 = 3^4$

$100 = 10^2$

(Các số 20, 60, 90 không thể viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1).

Dạng 3: Thực hiện phép tính nhân nhiều lũy thừa cùng cơ số

• Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc giữ nguyên cơ số và cộng tất cả các số mũ lại với nhau: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Nếu các số hạng chưa cùng cơ số, ta cần đưa chúng về cùng cơ số bổ trợ trước khi nhân.

Bài 1: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

• a) $3^3 \cdot 3^4 = 3^{3+4} = 3^7$

• b) $5^2 \cdot 5^7 = 5^{2+7} = 5^9$

• c) $7^5 \cdot 7 = 7^{5+1} = 7^6$

Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa duy nhất:

• a) $2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4 = 2^{3+2+4} = 2^9$

• b) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 10^{2+3+5} = 10^{10}$

• c) $x \cdot x^5 = x^{1+5} = x^6$

• d) $a^3 \cdot a^2 \cdot a^5 = a^{3+2+5} = a^{10}$

Bài 3: Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa duy nhất bằng phương pháp đổi cơ số:

• a) $4^8 \cdot 2^{20}$ và $9^{12} \cdot 27^5 \cdot 81^4$ và $64^3 \cdot 4^5 \cdot 16^2$

• b) $25^{20} \cdot 125^4$ và $x^7 \cdot x^4 \cdot x^3$ và $3^6 \cdot 4^6$

• c) $8^4 \cdot 2^3 \cdot 16^2$ và $2^3 \cdot 2^2 \cdot 8^3$ và $y \cdot y^7$

Lời giải:

• a) Tích thứ nhất đưa về cơ số 2: $(2^2)^8 \cdot 2^{20} = 2^{16} \cdot 2^{20} = 2^{36}$ (hoặc viết dưới dạng $4^{18}$).

  Tích thứ hai đưa về cơ số 3: $(3^2)^{12} \cdot (3^3)^5 \cdot (3^4)^4 = 3^{24} \cdot 3^{15} \cdot 3^{16} = 3^{55}$.

  Tích thứ ba đưa về cơ số 4: $(4^3)^3 \cdot 4^5 \cdot (4^2)^2 = 4^9 \cdot 4^5 \cdot 4^4 = 4^{18}$.

• b) Tích thứ nhất đưa về cơ số 5: $(5^2)^{20} \cdot (5^3)^4 = 5^{40} \cdot 5^{12} = 5^{52}$.

  Tích thứ hai cộng các số mũ biến chữ: $x^{7+4+3} = x^{14}$.

  Tích thứ ba nhân hai cơ số có cùng số mũ: $(3 \cdot 4)^6 = 12^6$.

• c) Tích thứ nhất đưa về cơ số 2: $(2^3)^4 \cdot 2^3 \cdot (2^4)^2 = 2^{12} \cdot 2^3 \cdot 2^8 = 2^{23}$.

  Tích thứ hai đưa về cơ số 2: $2^3 \cdot 2^2 \cdot (2^3)^3 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^9 = 2^{14}$.

  Tích thứ ba thu gọn biến chữ: $y^{1+7} = y^8$.

Dạng 4: Thực hiện phép tính chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (với cơ số $a \neq 0$).

Bài 1: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa bằng cách thu gọn cơ số:

• a) $125^5 : 25^3 = (5^3)^5 : (5^2)^3 = 5^{15} : 5^6 = 5^9$

• b) $27^6 : 9^3 = (3^3)^6 : (3^2)^3 = 3^{18} : 3^6 = 3^{12}$

• c) $4^{20} : 2^{15} = (2^2)^{20} : 2^{15} = 2^{40} : 2^{15} = 2^{25}$

• d) $2^{4n} : 2^{2n} = 2^{4n - 2n} = 2^{2n}$

• e) $64^4 \cdot 16^5 : 4^{20} = (4^3)^4 \cdot (4^2)^5 : 4^{20} = 4^{12} \cdot 4^{10} : 4^{20} = 4^{22} : 4^{20} = 4^2$

• g) $32^4 : 8^6 = (2^5)^4 : (2^3)^6 = 2^{20} : 2^{18} = 2^2$

Bài 2: Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa thu gọn:

• a) $4^9 : 4^4 = 4^5$

  $17^8 : 17^5 = 17^3$

  $2^{10} : 8^2 = 2^{10} : (2^3)^2 = 2^{10} : 2^6 = 2^4$

  $18^{10} : 3^{10} = (18 : 3)^{10} = 6^{10}$

  $27^5 : 81^3 = (3^3)^5 : (3^4)^3 = 3^{15} : 3^{12} = 3^3$

• b) $10^6 : 100 = 10^6 : 10^2 = 10^4$

  $5^9 : 25^3 = 5^9 : (5^2)^3 = 5^9 : 5^6 = 5^3$

  $4^{10} : 64^3 = 4^{10} : (4^3)^3 = 4^{10} : 4^9 = 4^1 = 4$

  $2^{25} : 32^4 = 2^{25} : (2^5)^4 = 2^{25} : 2^{20} = 2^5$

  $18^4 : 9^4 = (18 : 9)^4 = 2^4$

Dạng 5: Các bài toán nâng cao tổng hợp biến đổi linh hoạt

• Phương pháp giải: Phối hợp nhuần nhuyễn cả 7 tính chất nền tảng của lũy thừa. Đối với bài toán tính chuỗi tổng, ta thực hiện nhân thêm cơ số vào hai vế để triệt tiêu các hạng tử trung gian khi làm phép tính trừ vế theo vế.

Bài 1: Tính giá trị thu gọn chứa đại lượng biến chữ:

• a) $a^4 \cdot a^6 = a^{10}$

• b) $(a^5)^7 = a^{35}$

• c) $(a^3)^4 \cdot a^9 = a^{12} \cdot a^9 = a^{21}$

• d) $(2^3)^5 \cdot (2^3)^4 = (2^3)^{5+4} = (2^3)^9 = 2^{27}$

Bài 2: Viết các biểu thức tổng lập phương sau thành một bình phương số học:

• a) $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2$

• b) $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2$

• c) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2$

Bài 3: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

• a) $3^x \cdot 3 = 243$

  $3^{x + 1} = 3^5$

  $x + 1 = 5$

  $x = 4$

• b) $2^x \cdot 16^2 = 1024$

  $2^x \cdot (2^4)^2 = 2^{10}$

  $2^x \cdot 2^8 = 2^{10}$

  $x + 8 = 10$

  $x = 2$

• c) $64 \cdot 4^x = 16^8$

  $4^3 \cdot 4^x = (4^2)^8$

  $4^{3 + x} = 4^{16}$

  $3 + x = 16$

  $x = 13$

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý nhất:

• a) $A = (2^{17} + 17^2) \cdot (9^{15} - 3^{15}) \cdot (2^4 - 4^2)$

  Nhận thấy ở số hạng tích cuối cùng có phép tính: $2^4 - 4^2 = 16 - 16 = 0$. Vì một số bất kỳ nhân với số 0 đều bằng 0 nên giá trị tổng thể biểu thức $A = 0$.

• b) $B = (8^{2017} - 8^{2015}) : 8^{2015}$

  Đặt thừa số chung ở cụm số bị chia vế trước:

  $8^{2015} \cdot (8^2 - 1) : 8^{2015}$

  Thực hiện phép chia triệt tiêu đại lượng giống nhau:

  $8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$

  Vậy giá trị biểu thức $B = 63$.

• c) $C = (1^3 + 2^3 + 3^4 + 4^5) \cdot (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) \cdot (3^8 - 81^2)$

  Nhận thấy ở cụm tích cuối cùng có phép biến đổi: $3^8 - 81^2 = 3^8 - (3^4)^2 = 3^8 - 3^8 = 0$. Do đó, giá trị biểu thức $C = 0$.

• d) $D = (2^8 + 8^3) : (2^5 \cdot 2^3)$

  Thu gọn số chia vế sau: $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$.

  Biến đổi số bị chia vế trước về cùng cơ số 2: $2^8 + (2^3)^3 = 2^8 + 2^9$.

  Biểu thức phép tính trở thành:

  $(2^8 + 2^9) : 2^8$

  $2^8 \cdot (1 + 2) : 2^8$

  $3 \cdot 2^8 : 2^8 = 3$

  Vậy giá trị biểu thức $D = 3$.

Bài 5: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

• a) $2^x \cdot 4 = 128 \Rightarrow 2^x \cdot 2^2 = 2^7 \Rightarrow x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5$

• b) $(2x + 1)^3 = 125 \Rightarrow (2x + 1)^3 = 5^3 \Rightarrow 2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$

• c) $2^x - 26 = 6 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$

• d) $64 \cdot 4^x = 4^5 \Rightarrow 4^3 \cdot 4^x = 4^5 \Rightarrow 3 + x = 5 \Rightarrow x = 2$

• e) $27 \cdot 3^x = 243 \Rightarrow 3^3 \cdot 3^x = 3^5 \Rightarrow 3 + x = 5 \Rightarrow x = 2$

• g) $49 \cdot 7^x = 2401 \Rightarrow 7^2 \cdot 7^x = 7^4 \Rightarrow 2 + x = 4 \Rightarrow x = 2$

• h) $3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4$

• k) $3^4 \cdot 3^x = 3^7 \Rightarrow 4 + x = 7 \Rightarrow x = 3$

• n) $3^x + 25 = 26 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^0$

  $3^x + 25 = 26 \cdot 4 + 2 \cdot 1$

  $3^x + 25 = 104 + 2$

  $3^x + 25 = 106$

  $3^x = 106 - 25$

  $3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4$

Bài 6: Tính tổng chuỗi số lũy thừa cách đều bằng phương pháp nhân thêm cơ số:

Cho chuỗi tổng số học: $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017}$

Lời giải:

Nhân cả hai vế của chuỗi tổng với hằng số cơ số là 2:

$2S = 2 \cdot (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017})$

$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2018}$

Thực hiện phép tính trừ vế theo vế giữa hai biểu thức số học $2S$ và $S$:

$2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2018}) - (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{2017})$

Khi phá ngoặc thực hiện phép trừ, toàn bộ các hạng tử trung gian giống nhau chạy từ 2 đến $2^{2017}$ ở cả hai nhóm sẽ bị triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn. Biểu thức thu gọn cuối cùng chỉ còn lại số hạng cuối vế trước trừ số hạng đầu vế sau:

$S = 2^{2018} - 1$

Vậy giá trị chuỗi tổng thu gọn cần tìm là $S = 2^{2018} - 1$.