Cách tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN), Bội chung nhỏ nhất (BCNN) và Bài tập Toán 6

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ định nghĩa, quy trình 3 bước tìm ƯCLN và BCNN chuẩn xác, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập minh họa có lời giải chi tiết được trình bày chuẩn sư phạm dành riêng cho học sinh khối 6.

I. Kiến Thức Trọng Tâm Về Ước Và Bội Cần Nhớ

1. Định nghĩa ước và bội

Nếu có số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ (ký hiệu là $a \ \vdots \ b$), ta nói $a$ là bội của $b$, còn $b$ được gọi là ước của $a$.

• Ví dụ: Số 8 là bội của 4 vì 8 chia hết cho 4. Tuy nhiên, số 8 không phải là bội của 3 vì 8 không chia hết cho 3.

2. Cách tìm tập hợp ước và bội

Để thuận tiện trong trình bày toán học, ta quy ước các ký hiệu tập hợp:

• $B(a)$ là tập hợp các bội của số tự nhiên $a$.

• $Ư(a)$ là tập hợp các ước của số tự nhiên $a$.

• Cách tìm bội của một số: Muốn tìm các bội của một số tự nhiên khác 0, ta nhân số đó lần lượt với các số tự nhiên $0, 1, 2, 3, 4, \dots$

  • Ví dụ: Tập hợp các bội của 5 được xác định như sau:

    $B(5) = \{5 \cdot 0; \ 5 \cdot 1; \ 5 \cdot 2; \ 5 \cdot 3; \ \dots\} = \{0; \ 5; \ 10; \ 15; \ 20; \ \dots\}$

• Cách tìm ước của một số: Muốn tìm các ước của một số tự nhiên $a$ ($a > 1$), ta lần lượt chia số $a$ cho các số tự nhiên chạy từ 1 đến $a$ để xét xem $a$ chia hết cho những số nào. Khi đó, các số ấy chính là ước của $a$.

  • Ví dụ: Tập hợp ước của các số 8, 10, 12, 13 lần lượt là:

    $Ư(8) = \{1; \ 2; \ 4; \ 8\}$

    $Ư(10) = \{1; \ 2; \ 5; \ 10\}$

    $Ư(12) = \{1; \ 2; \ 3; \ 4; \ 6; \ 12\}$

    $Ư(13) = \{1; \ 13\}$

3. Bài tập minh họa củng cố kiến thức cơ bản

Bài toán 1:

a) Tìm các bội của 4 trong danh sách các số sau: 8; 14; 20; 25.

b) Viết tập hợp các bội của 4 nhỏ hơn 30.

c) Viết dạng tổng quát của các số là bội của 4.

Lời giải chi tiết:

• a) Trong các số đề bài cho bao gồm 8; 14; 20; 25, ta thực hiện phép thử chia và thấy chỉ có số 8 và số 20 là chia hết cho 4.

  Kết luận: Các bội của 4 trong dãy số trên là 8 và 20.

• b) Các số tự nhiên chia hết cho 4 và nhỏ hơn khoảng chặn 30 bao gồm các số: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28.

  Ta viết được tập hợp: $B = \{0; \ 4; \ 8; \ 12; \ 16; \ 20; \ 24; \ 28\}$.

• c) Theo tính chất số học, các số tự nhiên chia hết cho 4 đều được biểu diễn dưới dạng tích của 4 với một số tự nhiên bất kỳ.

  Kết luận: Dạng tổng quát của số là bội của 4 là $4k$ (với điều kiện $k \in \mathbb{N}$).

Bài toán 2:

Hãy tìm và viết tập hợp các ước của các số tự nhiên sau: 4, 6, 9, 13 và 1.

Lời giải chi tiết:

• a) Lần lượt chia số 4 cho các số từ 1 đến 4, ta thấy 4 chia hết cho 1, 2, 4.

  Tập hợp thu được: $Ư(4) = \{1; \ 2; \ 4\}$.

• b) Lần lượt chia số 6 cho các số từ 1 đến 6, ta thấy 6 chia hết cho 1, 2, 3, 6.

  Tập hợp thu được: $Ư(6) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6\}$.

• c) Lần lượt chia số 9 cho các số từ 1 đến 9, ta thấy 9 chia hết cho 1, 3, 9.

  Tập hợp thu được: $Ư(9) = \{1; \ 3; \ 9\}$.

• d) Lần lượt chia số 13 cho các số từ 1 đến 13, ta thấy 13 chỉ chia hết cho 1 và 13 (vì 13 là số nguyên tố).

  Tập hợp thu được: $Ư(13) = \{1; \ 13\}$.

• e) Số 1 chỉ chia hết cho chính nó, do đó ta có tập hợp: $Ư(1) = \{1\}$.

II. Định Nghĩa Ước Chung Và Cách Tìm Ước Chung Lớn Nhất (ƯCLN)

1. Ước chung là gì?

Ước chung của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp ước của tất cả các số đó.

Ta quy ước ký hiệu tập hợp ước chung của $a$ và $b$ là $ƯC(a, b)$.

• Số $x$ được công nhận thuộc tập hợp $ƯC(a, b)$ nếu thỏa mãn đồng thời: $a \ \vdots \ x$ và $b \ \vdots \ x$.

• Ví dụ: Ta có $Ư(4) = \{1; \ 2; \ 4\}$ và $Ư(6) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6\}$. Các phần tử chung xuất hiện ở cả hai tập hợp là số 1 và số 2.

  Ta viết được tập hợp ước chung: $ƯC(4, 6) = \{1; \ 2\}$.

2. Khái niệm Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số có giá trị lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ký hiệu là ƯCLN.

• Ví dụ: Ta có tập hợp ước của 12 và 30 lần lượt là:

  $Ư(12) = \{1; \ 2; \ 3; \ 4; \ 6; \ 12\}$

  $Ư(30) = \{1; \ 2; \ 3; \ 5; \ 6; \ 10; \ 15; \ 30\}$

  Tập hợp ước chung tìm được là: $ƯC(12, 30) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6\}$.

  Nhận thấy số lớn nhất trong tập hợp ước chung này là số 6. Ta kết luận số 6 chính là ước chung lớn nhất, viết là: $\text{ƯCLN}(12, 30) = 6$.

3. Quy trình 3 bước tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Để tìm ƯCLN của các số lớn hơn 1 mà không cần phải liệt kê toàn bộ tập hợp ước, ta áp dụng quy trình 3 bước chuẩn xác sau:

• Bước 1: Tiến hành phân tích mỗi số tự nhiên ra thừa số nguyên tố (theo sơ đồ cột dọc hoặc nhánh cây).

• Bước 2: Quan sát và chọn ra các thừa số nguyên tố chung xuất hiện ở tất cả các số.

• Bước 3: Lập biểu thức tích của các thừa số đã chọn, trong đó mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Giá trị của tích chính là ƯCLN cần tìm.

III. Định Nghĩa Bội Chung Và Cách Tìm Bội Chung Nhỏ Nhất (BCNN)

1. Bội chung là gì?

Bội chung của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp bội của tất cả các số đó. Ký hiệu tập hợp bội chung của $a$ và $b$ là $BC(a, b)$.

• Số $x$ được công nhận thuộc tập hợp $BC(a, b)$ nếu thỏa mãn đồng thời: $x \ \vdots \ a$ và $x \ \vdots \ b$.

• Ví dụ: Ta có $B(4) = \{0; \ 4; \ 8; \ 12; \ 16; \ 20; \ 24; \ \dots\}$ và $B(6) = \{0; \ 6; \ 12; \ 18; \ 24; \ \dots\}$. Các số chung xuất hiện ở cả hai tập hợp là $0; 12; 24; \dots$

  Ta viết được tập hợp bội chung: $BC(4, 6) = \{0; \ 12; \ 24; \ \dots\}$.

2. Khái niệm Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 nằm trong tập hợp các bội chung của các số đó. Ký hiệu là BCNN.

• Ví dụ: Từ tập hợp bội chung ở trên là $BC(4, 6) = \{0; \ 12; \ 24; \ \dots\}$, ta lọc ra số nhỏ nhất có giá trị khác 0 chính là số 12. Ta kết luận số 12 là bội chung nhỏ nhất, viết là: $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

3. Quy trình 3 bước tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Để tìm BCNN của các số lớn hơn 1, ta áp dụng quy trình biến đổi đại số sau:

• Bước 1: Tiến hành phân tích mỗi số tự nhiên ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Quan sát và chọn ra tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng.

• Bước 3: Lập biểu thức tích của các thừa số đã chọn, trong đó mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ lớn nhất của nó. Giá trị của tích chính là BCNN cần tìm.

Mẹo tìm nhanh từ Hay Học Hỏi: > * Để tìm tập hợp ƯC của các số, ta chỉ cần tìm tập hợp ước của ƯCLN của các số đó: $ƯC(a, b) = Ư(\text{ƯCLN}(a, b))$.

• Để tìm tập hợp BC của các số, ta chỉ cần tìm tập hợp bội của BCNN của các số đó: $BC(a, b) = B(\text{BCNN}(a, b))$.

IV. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Chi Tiết

Bài tập 1: Tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Hãy tìm ƯCLN của các tập hợp số sau đây:

• a) 56 và 140

• b) 24; 84 và 180

• c) 60 và 180

• d) 15 và 19

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Câu a: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $56 = 2^3 \cdot 7$

  $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$

  Các thừa số nguyên tố chung xuất hiện ở cả hai số là 2 và 7. Ta chọn số mũ nhỏ nhất của 2 là số mũ 2, số mũ nhỏ nhất của 7 là số mũ 1.

  Phép tính lập tích: $\text{ƯCLN}(56, 140) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$.

• Câu b: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $24 = 2^3 \cdot 3$

  $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

  $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

  Các thừa số nguyên tố chung của cả ba số là 2 và 3. Lấy số mũ nhỏ nhất tương ứng của từng số hạng, ta được biểu thức:

  Phép tính lập tích: $\text{ƯCLN}(24, 84, 180) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

• Câu c: Biến đổi theo trường hợp đặc biệt. Vì số 180 chia hết cho số 60 ($180 \ \vdots \ 60$), nên số 60 chính là ước của 180. Theo quy tắc toán học, trong một cặp số mà số này là bội của số kia thì số nhỏ hơn chính là ước chung lớn nhất của chúng.

  Kết luận: $\text{ƯCLN}(60, 180) = 60$.

• Câu d: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $15 = 3 \cdot 5$

  $19 = 19$ (do 19 là số nguyên tố) Nhận thấy hai số trên không có bất kỳ thừa số nguyên tố chung nào. Theo định nghĩa, hai số không có thừa số nguyên tố chung thì được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

  Kết luận: $\text{ƯCLN}(15, 19) = 1$.

Bài tập 2: Ứng dụng kỹ thuật phân tích nhanh tìm ƯCLN

Hãy xác định nhanh ƯCLN của các tập hợp số sau:

• a) 16; 80 và 176

• b) 18; 30 và 77

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Câu a: Ta tiến hành thực hiện phép tính chia nhẩm để kiểm tra tính chia hết của các số lớn đối với số nhỏ nhất là 16.

  Ta thấy: $80 \ \vdots \ 16 = 5$ và $176 \ \vdots \ 16 = 11$. Vì số 16 đóng vai trò là ước của cả hai số còn lại, nên theo tính chất đặc biệt, số 16 chính là ước chung lớn nhất của bộ ba số này.

  Kết luận: $\text{ƯCLN}(16, 80, 176) = 16$.

• Câu b: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $18 = 2 \cdot 3^2$

  $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

  $77 = 7 \cdot 11$

  Quan sát dạng phân tích của cả ba số, ta thấy không tồn tại bất kỳ một thừa số nguyên tố chung nào xuất hiện đồng thời ở cả ba số. Do đó, tập hợp ước chung của chúng chỉ chứa số 1.

  Kết luận: $\text{ƯCLN}(18, 30, 77) = 1$.

Bài tập 3: Tìm ƯCLN rồi xác định tập hợp ước chung

Hãy tìm ƯCLN, từ đó suy ra tập hợp tất cả các ước chung của các số sau:

• a) 16 và 24

• b) 180 và 234

• c) 60; 90 và 135

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Câu a: Phân tích ra thừa số nguyên tố: $16 = 2^4$ và $24 = 2^3 \cdot 3$.

  Tính ước chung lớn nhất: $\text{ƯCLN}(16, 24) = 2^3 = 8$.

  Tìm tập hợp ước chung thông qua ước của số 8:

  Kết luận: $ƯC(16, 24) = Ư(8) = \{1; \ 2; \ 4; \ 8\}$.

• Câu b: Phân tích ra thừa số nguyên tố: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ và $234 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$.

  Tính ước chung lớn nhất: $\text{ƯCLN}(180, 234) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

  Tìm tập hợp ước chung thông qua ước của số 18:

  Kết luận: $ƯC(180, 234) = Ư(18) = \{1; \ 2; \ 3; \ 6; \ 9; \ 18\}$.

• Câu c: Phân tích ra thừa số nguyên tố: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$; \ $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; \ $135 = 3^3 \cdot 5$.

  Thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. Tính ước chung lớn nhất: $\text{ƯCLN}(60, 90, 135) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.

  Tìm tập hợp ước chung thông qua ước của số 15:

  Kết luận: $ƯC(60, 90, 135) = Ư(15) = \{1; \ 3; \ 5; \ 15\}$.

Bài tập 4: Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ước chung lớn nhất

Tìm số tự nhiên $a$ có giá trị lớn nhất, biết rằng thỏa mãn đồng thời hai phép chia hết: $420 \ \vdots \ a$ và $700 \ \vdots \ a$.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì số 420 chia hết cho $a$ và số 700 cũng chia hết cho $a$, nên theo định nghĩa, số $a$ phải đóng vai trò là một ước chung của 420 và 700. Nghĩa là $a$ thuộc tập hợp $ƯC(420, 700)$.

Mặt khác, đề bài bổ sung điều kiện ràng buộc số $a$ phải là số tự nhiên có giá trị lớn nhất. Do đó, số $a$ chính là ước chung lớn nhất của hai số trên: $a = \text{ƯCLN}(420, 700)$.

Ta tiến hành phân tích hai số ra thừa số nguyên tố để tính toán:

$420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Biểu thức tích lập được là: $\text{ƯCLN}(420, 700) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Kết luận: Vậy giá trị số tự nhiên lớn nhất cần tìm là $a = 140$.

Bài tập 5: Giải bài toán đố thực tế ứng dụng chia hết hình học

Bạn Lan đang sở hữu một tấm bìa hình chữ nhật lớn có kích thước chiều rộng bằng $75\text{ cm}$ và chiều dài bằng $105\text{ cm}$. Lan có nguyện vọng muốn cắt hoàn toàn tấm bìa lớn đó thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết vừa vặn, hoàn toàn không bị thừa lại bất kỳ mảnh vụn nào. Em hãy tính giúp Lan độ dài lớn nhất của cạnh mảnh hình vuông nhỏ có thể cắt được (biết số đo cạnh của hình vuông là một số tự nhiên có đơn vị tính bằng xentimét).

Hướng dẫn giải chi tiết:

Để tấm bìa hình chữ nhật được cắt phân tách hoàn toàn thành các hình vuông bằng nhau mà không còn thừa mảnh nào, thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bắt buộc phải đóng vai trò là ước số tự nhiên của cả chiều rộng và chiều dài của tấm bìa lớn.

Nghĩa là độ dài cạnh hình vuông phải thuộc tập hợp ước chung của 75 và 105.

Do đề bài yêu cầu tìm độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông nhỏ, nên giá trị này chính là ước chung lớn nhất của chiều rộng và chiều dài: $\text{ƯCLN}(75, 105)$.

Ta tiến hành phân tích hai kích thước ra thừa số nguyên tố:

$75 = 3 \cdot 5^2$

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. Ta chọn số mũ nhỏ nhất của chúng là số mũ 1.

Phép tính lập tích: $\text{ƯCLN}(75, 105) = 3 \cdot 5 = 15$.

Kết luận: Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất mà bạn Lan có thể cắt được là $15\text{ cm}$.

Bài tập 6: Tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số

Hãy xác định BCNN của các cặp số sau đây:

• a) 60 và 280

• b) 84 và 108

• c) 13 và 15

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Câu a: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

  $280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$

  Ta lọc ra tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng xuất hiện ở cả hai số bao gồm: 2; 3; 5; 7. Tiếp tục chọn số mũ lớn nhất cho từng thừa số: số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3; 5; 7 là số mũ 1.

  Phép tính lập tích: $\text{BCNN}(60, 280) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$.

• Câu b: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

  $108 = 2^2 \cdot 3^3$

  Lọc ra các thừa số nguyên tố chung và riêng bao gồm: 2; 3; 7. Chọn số mũ lớn nhất tương ứng của chúng, ta được biểu thức tích:

  $\text{BCNN}(84, 108) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$.

• Câu c: Nhận thấy số 13 là một số nguyên tố, còn số 15 được phân tích thành $3 \cdot 5$. Hai số này không chứa bất kỳ thừa số nguyên tố chung nào, do đó chúng là hai số nguyên tố cùng nhau. Theo quy tắc toán học, bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó.

  Phép tính lập tích: $\text{BCNN}(13, 15) = 13 \cdot 15 = 195$.

Bài tập 7: Tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của ba số

Hãy xác định BCNN của các bộ ba số sau đây:

• a) 10; 12 và 15

• b) 8; 9 và 11

• c) 24; 40 và 168

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Câu a: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $10 = 2 \cdot 5$

  $12 = 2^2 \cdot 3$

  $15 = 3 \cdot 5$

  Lọc ra các thừa số nguyên tố chung và riêng bao gồm: 2; 3; 5. Lập tích với số mũ lớn nhất của từng thừa số, ta được:

  $\text{BCNN}(10, 12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

• Câu b: Nhận thấy bộ ba số 8, 9, 11 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau (vì $8 = 2^3$; \ $9 = 3^2$; \ $11 = 11$, không có thừa số chung). Do đó, BCNN của chúng chính bằng tích của cả ba số hạng nhân với nhau.

  Phép tính lập tích: $\text{BCNN}(8, 9, 11) = 8 \cdot 9 \cdot 11 = 792$.

• Câu c: Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

  $24 = 2^3 \cdot 3$

  $40 = 2^3 \cdot 5$

  $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

  Lọc ra các thừa số nguyên tố chung và riêng bao gồm: 2; 3; 5; 7. Lập tích với số mũ lớn nhất tương ứng, ta được:

  $\text{BCNN}(24, 40, 168) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$.

Bài tập 8: Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện bội chung nhỏ nhất

Hãy tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất có giá trị khác 0, biết rằng số $a$ thỏa mãn đồng thời hai phép chia hết sau: $a \ \vdots \ 15$ và $a \ \vdots \ 18$.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì số $a$ chia hết cho 15 và chia hết cho 18 nên theo định nghĩa số học, $a$ chính là một bội chung của hai số 15 và 18. Nghĩa là số $a$ thuộc tập hợp $BC(15, 18)$.

Đồng thời, đề bài đưa ra điều kiện ràng buộc số $a$ phải là số tự nhiên có giá trị nhỏ nhất và khác 0. Do đó, số $a$ cần tìm chính là bội chung nhỏ nhất của 15 và 18: $a = \text{BCNN}(15, 18)$.

Ta tiến hành phân tích hai số ra thừa số nguyên tố để tính toán:

$15 = 3 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 3^2$

Lập biểu thức tích với các số mũ lớn nhất: $\text{BCNN}(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Kết luận: Vậy giá trị số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $a = 90$.

Bài tập 9: Giải bài toán đố thực tế chia hàng đại số

Số lượng học sinh của lớp 6C khi thực hiện xếp hàng tham gia hoạt động ngoại khóa, nếu xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc xếp thành hàng 8 thì đều vừa vặn đủ hàng, không bị dư hay thiếu bất kỳ bạn nào. Biết rằng tổng số học sinh của lớp này nằm trong khoảng giới hạn từ 35 đến 60 học sinh. Em hãy tính xem lớp 6C có tất cả bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi số học sinh của lớp 6C cần tìm là ẩn số $a$ (điều kiện: $a$ thuộc tập hợp số tự nhiên và nằm trong khoảng chặn $35 \leq a \leq 60$).

Vì khi học sinh lớp 6C xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng nên số lượng học sinh $a$ phải chia hết cho cả bốn số: 2, 3, 4 và 8. Hay nói cách khác, $a$ chính là một bội chung của chuỗi số này: $a \in BC(2, 3, 4, 8)$.

Để tìm tập hợp bội chung, trước hết ta tiến hành tính bội chung nhỏ nhất của chúng thông qua phân tích thừa số nguyên tố:

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

Lập biểu thức tích với các số mũ lớn nhất: $\text{BCNN}(2, 3, 4, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Từ giá trị BCNN vừa tìm được, ta suy ra tập hợp các bội chung của dãy số bằng cách lấy bội của số 24:

$BC(2, 3, 4, 8) = B(24) = \{0; \ 24; \ 48; \ 72; \ 96; \ \dots\}$

Ta thực hiện đối chiếu các phần tử của tập hợp trên với điều kiện khoảng chặn đề bài cho ($35 \leq a \leq 60$). Nhận thấy trong tập hợp chỉ có duy nhất một giá trị số thỏa mãn nằm trong khoảng này là số 48.

Kết luận: Vậy tổng số học sinh của lớp 6C là 48 học sinh.