Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian - Toán hình 11

Việc tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian chắc chắn sẽ khiến nhiều bạn cảm thấy bỡ ngỡ, bởi hình học 3D luôn được mệnh danh là phần "khó nhằn" trong chương trình phổ thông. Tuy nhiên, các em đừng quá lo lắng! Bài viết dưới đây của HayHocHoi sẽ hệ thống lại toàn bộ phương pháp giải và hướng dẫn chi tiết qua từng ví dụ cụ thể, giúp các em tự tin chinh phục dạng toán này.

I. Hai đường thẳng chéo nhau - Kiến thức trọng tâm cần nhớ

• Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau trong không gian khi chúng không cùng nằm trên bất kỳ một mặt phẳng nào (tức là không song song và cũng không cắt nhau).

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

  • Ký hiệu: $d(a, b) = MN$ trong đó $M \in a, N \in b$ và $MN \perp a; MN \perp b$.

Tính chất mở rộng (Rất hay dùng để giải toán):

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

  $$d(a, b) = d(a, (Q)) = d(b, (P)) = d((P), (Q))$$

  (Trong đó $(P), (Q)$ là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa $a$ và $b$).

II. Các phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Tùy vào giả thiết của từng bài toán, ta có thể linh hoạt sử dụng một trong 3 phương pháp sau đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung $IJ$

Ta sẽ tìm cách dựng đoạn thẳng $IJ$ vuông góc với cả $a$ và $b$, khi đó $d(a, b) = IJ$. Phương pháp này chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ chéo nhau và VUÔNG GÓC với nhau

• Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $\Delta'$ và vuông góc với $\Delta$ tại $I$

• Bước 2: Trong mặt phẳng $(\alpha)$, kẻ $IJ \perp \Delta'$ tại $J$

• Kết luận: $IJ$ chính là đoạn vuông góc chung của $\Delta$ và $\Delta'$, suy ra $d(\Delta, \Delta') = IJ$

Trường hợp 2: Hai đường thẳng$\Delta$và$\Delta'$chéo nhau và KHÔNG vuông góc

Có 2 cách để dựng:

• Cách 1:

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng$(\alpha)$chứa$\Delta'$và song song với$\Delta$.

  • Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc$d$của$\Delta$xuống$(\alpha)$ (Bằng cách lấy $M \in \Delta$, dựng $MN \perp (\alpha)$, đường thẳng qua $N$ song song với $\Delta$ chính là $d$).

  • Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta'$. Từ $H$ dựng $HK \parallel MN$ ($K \in \Delta$).

  • Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung, $d(\Delta, \Delta') = HK = MN$.

    

• Cách 2:

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha) \perp \Delta$ tại $I$.

  • Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $\Delta'$ xuống mặt phẳng $(\alpha)$.

  • Bước 3: Trong mặt phẳng $(\alpha)$, dựng $IJ \perp d$. Từ $J$ dựng đường thẳng song song với $\Delta$ cắt $\Delta'$ tại $H$. Từ $H$ dựng $HM \parallel IJ$ ($M \in \Delta$).

  • Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung, $d(\Delta, \Delta') = HM = IJ$.

Phương pháp 2: Chuyển về khoảng cách từ Đường đến Mặt

Chọn mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $\Delta$ và song song với $\Delta'$, khi đó:

Phương pháp 3: Chuyển về khoảng cách giữa 2 Mặt phẳng song song

Dựng 2 mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$ lần lượt chứa 2 đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$. Khi đó:

III. Bài tập vận dụng (Có lời giải chi tiết)

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $AD'$ và $A'B'$.

Lời giải:

• Ta có: $A'B' \perp AA'$ và $A'B' \perp A'D' \Rightarrow A'B' \perp (ADD'A')$.

• Gọi $H$ là giao điểm của $AD'$ với $A'D$. Vì $ADD'A'$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau $\Rightarrow A'H \perp AD'$.

• Ta có: $A'H \perp AD'$ và $A'H \perp A'B'$ (do $A'B' \perp (ADD'A')$).

  $\Rightarrow A'H$ chính là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng $AD'$ và $A'B'$.

• Độ dài đoạn $A'H$ bằng nửa đường chéo hình vuông cạnh $a$:

  $$d(A'B', AD') = A'H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA \perp (ABCD)$. Biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc 60°.

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SB$ và $CD$.

b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $BD$ và $SC$.

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ sau:

a) Tính $d(SB, CD)$:

• Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$.

• Lại có $BC \perp CD$ (do $ABCD$ là hình vuông).

• $\Rightarrow BC$ vừa vuông góc với $SB$, vừa vuông góc với $CD$.

• Vậy $BC$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $CD$. Suy ra: $d(SB, CD) = BC = a$.

b) Tính $d(BD, SC)$:

• Góc giữa $(SBC)$ và mặt đáy $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{SBA} =$ 60°.

  $\Rightarrow SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{3}$.

• Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$.

• Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $OI \perp SC$. Vì $BD \perp (SAC)$ nên $BD \perp OI$.

  $\Rightarrow OI$ là đoạn vuông góc chung của $SC$ và $BD$.

• Xét hai tam giác vuông $\Delta CAS$ và $\Delta COI$ có chung góc $C$, ta có:

  $$\Delta CAS \sim \Delta COI \Rightarrow \frac{OI}{SA} = \frac{CO}{SC} \Rightarrow OI = \frac{SA \cdot CO}{SC}$$

  Với $SA = a\sqrt{3}$, $CO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, và $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = a\sqrt{5}$.

  $$OI = \frac{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{30}}{10}$$

• (Cách khác): Trong $\Delta SAC$, kẻ đường cao $AJ \perp SC$. Ta có $\frac{1}{AJ^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} \Rightarrow AJ = \frac{a\sqrt{30}}{5}$. Do $O$ là trung điểm $AC$ nên $OI = \frac{1}{2}AJ = \frac{a\sqrt{30}}{10}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 2a$ và $SA \perp (ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Hãy dựng và tính đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC$.

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ sau:

° Dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC ta có thể thực hiện 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:Gọi N là trung điểm của AB, NM//BC ⇒ BC//(SMN).

- Ta có: MN ⊥ AB và MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ (SAB) ⇒ (SMN) ⊥ (SAB).

Mà (SMN) ∩ (SAB) = SN, hạ BH ⊥ (SMN)

 Từ H dụng Hx // BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey // BH và cắt BC tại F.

⇒ Đoạn EF là đoạn vuông gó chung của SM và BC.

* Cách 2:Ta thấy: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên suy ra BC ⊥ (SAB).

 Suy ra (SAB) là mp qua B thuộc BC và vuông góc với BC

 Gọi N là trung điểm của AB ⇒ MN // BC ⇒ MN ⊥ (SAB).

 ⇒ MN là hình chiếu vuông góc của SM lên (SAB).

 Hạ BH ⊥ SN ⇒ BH ⊥ (SMN)

 Từ H dụng Hx // BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey // BH và cắt BC tại F.

⇒ Đoạn EF là đoạn vuông gó chung của SM và BC.

° Tính EF (đoạn vuông gó chung của SM và BC)

- Ta thấy ΔSAN và ΔBHN là 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn đối đỉnh

 ⇒ ΔSAN ∼ ΔBHN (g-g)

$\Rightarrow \frac{BH}{SA}=\frac{BN}{SN}\Rightarrow BH=\frac{SA.BN}{SN}$

- Trong đó: $BN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$

$SN^2=SA^2+AN^2$ $=(2a)^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2=\frac{17a^2}{4}$ $\Rightarrow SN=\frac{a\sqrt{17}}{2}$

$\Rightarrow BH=\frac{2a.\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{17}}{2}}=\frac{2a\sqrt{17}}{17}$

- Vậy khoảng cách giữa SM và BC là BH bằng: 2a(√17/17).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = a\sqrt{5}$ và $BC = a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $SD$ và $BC$.

Lời giải: (Vận dụng Phương pháp 2)

Minh họa như hình vẽ sau:

• Theo giả thiết $BC \parallel AD \Rightarrow BC \parallel (SAD)$.

  $$d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD))$$

• Ta có $AB \perp AD$ và $AB \perp SA \Rightarrow AB \perp (SAD) \Rightarrow d(B, (SAD)) = AB$.

• Tính $AB$ trong tam giác vuông $ABC$:

  $$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{5a^2 - 2a^2} = a\sqrt{3}$$

• Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ là $a\sqrt{3}$.

Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 3$, $AD = 4$, $AA' = 5$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $AC$ và $B'D'$.

Lời giải: (Vận dụng Phương pháp 3)

Minh họa như hình vẽ sau:

• Ta có $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$.

• Đường thẳng $AC \subset (ABCD)$ và đường thẳng $B'D' \subset (A'B'C'D')$.

• Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng này chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy:

  $$d(AC, B'D') = d((ABCD), (A'B'C'D')) = AA' = 5$$

Như vậy, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tuy phức tạp hơn hình học phẳng, nhưng nếu nắm vững 3 phương pháp quy đổi khoảng cách (Đường - Đường $\to$ Đường - Mặt $\to$ Mặt - Mặt), bài toán sẽ trở nên vô cùng đơn giản.