Cách trục căn thức ở mẫu, rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2 và Bài tập có đáp án - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách trục căn thức ở mẫu, phương pháp nhân liên hợp và cung cấp hệ thống bài tập tự luyện có đáp án.

I. Lý thuyết: Cách trục căn thức ở mẫu và rút gọn biểu thức

1. Cách trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu là biến đổi biểu thức sao cho mẫu số không còn chứa căn thức. Chúng ta thường thực hiện theo 3 bước:

• Bước 1: Xác định biểu thức liên hợp của mẫu số.

• Bước 2: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp đó.

• Bước 3: Khai căn ở mẫu bằng hằng đẳng thức $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ và thu gọn biểu thức.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2

Để rút gọn các biểu thức phức tạp, các em cần:

• Bước 1: Thực hiện trục căn thức cho từng phân thức đơn lẻ.

• Bước 2: Quy đồng mẫu số (nếu cần).

• Bước 3: Thu gọn các căn thức đồng dạng để có kết quả cuối cùng tối giản.

II. Bài tập trục căn thức ở mẫu có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trục căn thức ở mẫu dạng đơn giản

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | b) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ | c) $\frac{5}{\sqrt{20}}$ | d) $\frac{6}{\sqrt{8}}$

Lời giải:

• a) $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$ $= \frac{\sqrt{3}}{3}$

• b) $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$ $= \frac{2\sqrt{5}}{5}$

• c) $\frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}}$ $= \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{100}} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• d) $\frac{6}{\sqrt{8}} = \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}$ $= \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{16}} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài tập 2: Trục căn thức ở mẫu chứa ẩn (với $a, b, x, y > 0$)

1. $\frac{2a}{3\sqrt{a}}$ | 2) $\frac{5a}{3\sqrt{ab}}$ | 3) $\frac{2x}{\sqrt{3x^3}}$ | 4) $\frac{5y^2}{\sqrt{2y^5}}$

Lời giải:

• 1. $\frac{2a}{3\sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{a})^2}{3\sqrt{a}}$ $= \frac{2\sqrt{a}}{3}$

• 2. $\frac{5a}{3\sqrt{ab}} = \frac{5a\sqrt{ab}}{3ab}$ $= \frac{5\sqrt{ab}}{3b}$

• 3. $\frac{2x}{\sqrt{3x^3}} = \frac{2x\sqrt{3x}}{\sqrt{9x^4}}$ $= \frac{2x\sqrt{3x}}{3x^2} = \frac{2\sqrt{3x}}{3x}$

• 4. $\frac{5y^2}{\sqrt{2y^5}} = \frac{5y^2\sqrt{2y}}{\sqrt{4y^6}}$ $= \frac{5y^2\sqrt{2y}}{2y^3} = \frac{5\sqrt{2y}}{2y}$

Bài tập 3: Trục căn thức bằng phương pháp nhân liên hợp

a) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ | b) $\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ | c) $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ | d) $\frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Lời giải:

• a) $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$ $= \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \sqrt{3}+1$

• b) $\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$ $= \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$

• c) $\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

• d) $\frac{6(2\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$ $= \frac{6(2\sqrt{3}-\sqrt{2})}{12-2} = \frac{3(2\sqrt{3}-\sqrt{2})}{5}$

III. Bài tập rút gọn biểu thức tổng hợp

Bài tập 4: Rút gọn biểu thức chứa căn ở mẫu

a) $M = \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

b) $N = \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

Lời giải:

• a) $M = \frac{(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$ $= \frac{4}{4-3} = 4$

• b) $N = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2} + \sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}$ $= \frac{3 \cdot 2\sqrt{5}}{3} = 2\sqrt{5}$

Bài tập tự luyện

Các em hãy vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập sau:

• Bài tập 5: Trục căn thức ở mẫu:

  a) $\frac{3}{\sqrt{a}+b}$ | b) $\frac{5}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ | c) $\frac{3a}{2\sqrt{b}+1}$

• Bài tập 6: Rút gọn biểu thức:

  $A = \frac{\sqrt{7}-5}{2} - \frac{6-2\sqrt{7}}{4} + \frac{6}{\sqrt{7}-2} - \frac{5}{4+\sqrt{7}}$

• Bài tập 7: Rút gọn biểu thức nâng cao:

  $C = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}$