Bài 8 trang 81 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Một vật có trọng lượng $300\,\text{N}$ được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm $P(– 2; 0; 0)$, $Q(1; \sqrt{3}; 0)$, $R(1; -\sqrt{3}; 0)$ còn đầu kia gắn với vật tại điểm $S(0; 0; -2\sqrt{3})$ như Hình 38. Gọi $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp $RS$, $QS$ và $PS$. Tìm tọa độ của các lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Xác định Vectơ Chỉ Phương: Lực căng trên mỗi sợi dây phải cùng phương và cùng chiều với vectơ chỉ phương của dây, hướng từ vật $S$ đến điểm neo ($P, Q, R$). Tính $\vec{SR}, \vec{SQ}, \vec{SP}$.

2. Thiết lập Lực Căng: Do cân bằng và tính đối xứng ($|\vec{SR}|=|\vec{SQ}|=|\vec{SP}|$), cường độ ba lực căng bằng nhau: $|\vec{F_1}|=|\vec{F_2}|=|\vec{F_3}|=F$. Ta biểu diễn các lực căng qua các vectơ chỉ phương với cùng một hằng số $c$:

   $$\vec{F_1} = c \cdot \vec{SR}; \quad \vec{F_2} = c \cdot \vec{SQ}; \quad \vec{F_3} = c \cdot \vec{SP}$$

3. Điều kiện Cân bằng: Tổng các lực căng bằng trọng lực $\vec{P}$ (trọng lực $\vec{P}$ hướng lên $\vec{F_{tong}} = -\vec{P}$, hoặc $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}=\vec{F_{trog}}$ với $\vec{F_{trog}}$ là vectơ trọng lực hướng xuống). Ta sử dụng: $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}=\vec{F}$ (với $\vec{F}$ là vectơ trọng lực hướng xuống).

4. Tính $c$ và Tọa độ Lực Căng: Giải phương trình vectơ ở trục $Oz$ để tìm $c$, sau đó thay $c$ vào công thức lực căng.

Lời giải chi tiết:

1. Xác Định Các Vectơ Chỉ Phương và Độ Dài Dây Cáp

Các tọa độ đã cho: $S(0; 0; -2\sqrt{3})$, $P(– 2; 0; 0)$, $Q(1; \sqrt{3}; 0)$, $R(1; -\sqrt{3}; 0)$.

Các vectơ chỉ phương của dây cáp (hướng từ $S$ đến điểm neo):

Độ dài các dây cáp:

2. Thiết Lập Mối Quan Hệ Giữa Lực Căng và Vectơ Chỉ Phương

Vì ba sợi dây có chiều dài bằng nhau ($|\vec{SP}|=|\vec{SQ}|=|\vec{SR}|$) và vật ở trạng thái cân bằng, cường độ các lực căng phải bằng nhau: $|\vec{F_1}|=|\vec{F_2}|=|\vec{F_3}|$.

Các lực căng có phương cùng với các vectơ chỉ phương (hướng lên) nên tồn tại hằng số $c \neq 0$ sao cho:

3. Áp Dụng Điều Kiện Cân Bằng Lực

Vật ở trạng thái cân bằng, nên tổng các lực căng cân bằng với trọng lực $\vec{F}$:

Tổng các lực căng:

Trọng lực $\vec{F}$ (hướng xuống theo trục $Oz$, cường độ $300\,\text{N}$):

Từ điều kiện cân bằng:

4. Kết Quả Tọa Độ Các Lực Căng

Thay giá trị của $c$ vào công thức của các lực căng:

Vậy tọa độ của các lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ đã được xác định.