Hotline 0936685849

Bài 2 trang 63 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

15:18:0831/03/2024

Bài toán này yêu cầu chúng ta chứng minh hai đẳng thức vectơ trong hình tứ diện $ABCD$ . Ta sẽ sử dụng quy tắc ba điểm (quy tắc xen điểm) và tính chất $\vec{XY} + \vec{YX} = \vec{0}$ (tổng hai vectơ đối nhau) để biến đổi một vế của đẳng thức thành vế còn lại.

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Phần a): Ta có thể biến đổi $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$ bằng cách xen điểm $D$ vào $\vec{AC}$ và xen điểm $C$ vào $\vec{BD}$ (hoặc ngược lại) để tạo ra các vectơ $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ .
Phần b): Ta biến đổi vế trái bằng cách chuyển phép trừ thành phép cộng với vectơ đối: $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{DC}$ . Sau đó, xen điểm thích hợp để tạo ra $\vec{AC}$ và $\vec{DB}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}$

Ta sử dụng quy tắc xen điểm để biến đổi vế trái $\vec{VT} = \vec{AC} + \vec{BD}$.

Xen điểm $D$ vào $\vec{AC}$ và xen điểm $C$ vào $\vec{BD}$:

\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AD} + \vec{DC}) + (\vec{BC} + \vec{CD})

Nhóm các vectơ có liên quan đến $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$:

\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{DC} + \vec{CD})

Vì $\vec{DC}$ và $\vec{CD}$ là hai vectơ đối nhau, nên $\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{0}$.

\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC} + \vec{0}

\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}

\text{Đẳng thức đã được chứng minh.}

b) Chứng minh $\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{DB}$

Ta biến đổi vế trái $\vec{VT} = \vec{AB} - \vec{CD}$.

Chuyển phép trừ thành phép cộng với vectơ đối:

\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{DC}

Ta cần biến đổi thành vế phải $\vec{VP} = \vec{AC} + \vec{DB}$.

Xen điểm $C$ vào $\vec{AB}$ và xen điểm $B$ vào $\vec{DC}$:

\vec{AB} + \vec{DC} = (\vec{AC} + \vec{CB}) + (\vec{DB} + \vec{BC})

Nhóm các vectơ theo vế phải $\vec{AC}$ và $\vec{DB}$:

\vec{AB} + \vec{DC} = (\vec{AC} + \vec{DB}) + (\vec{CB} + \vec{BC})

Vì $\vec{CB}$ và $\vec{BC}$ là hai vectơ đối nhau, nên $\vec{CB} + \vec{BC} = \vec{0}$.

\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{DB} + \vec{0}

\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{DB}

\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{DB}

Các đẳng thức vectơ trong tứ diện đều được chứng minh bằng cách áp dụng quy tắc ba điểm (xen điểm) và tính chất của vectơ đối:

$\mathbf{\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AD} + \vec{BC}}$ : Sử dụng $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ và $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$ để khử $\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{0}$ .
$\mathbf{\vec{AB} - \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{DB}}$ : Biến đổi $\vec{AB} + \vec{DC}$ thành $(\vec{AC} + \vec{CB}) + (\vec{DB} + \vec{BC})$ , sau đó khử $\vec{CB} + \vec{BC} = \vec{0}$ .