Bài 7 trang 20 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng tới tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi hoc được cho bởi công thức

V = k(R - r)r² với 0 ≤ r < R,

trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán knhs khí quản khih ho (Nguonf: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm bán kính $r$ mà tại đó tốc độ $V$ đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định: Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; R].

2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm V′(r) của hàm số $V(r)$. Ta có thể khai triển $V(r)$ trước khi đạo hàm để đơn giản hóa.

3. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình V′(r)=0 để tìm các nghiệm trên khoảng (0; R).

4. Lập bảng biến thiên: Dựa vào dấu của đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số $V(r)$ trên đoạn [0; R].

5. Kết luận: Từ bảng biến thiên, ta xác định giá trị lớn nhất của hàm số và tìm $r$ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số tốc độ: $V(r) = k(R - r)r^2 = k(Rr^2 - r^3)$.

Hàm số này xác định trên đoạn [0; R].

• Bước 1: Tính đạo hàm V′(r)

  $V'(r) = [k(Rr^2 - r^3)]'$ $= k(2Rr - 3r^2) = kr(2R - 3r)$.

• Bước 2: Tìm các điểm cực trị

  $V'(r) = 0 \Leftrightarrow kr(2R - 3r) = 0.$ Vì $k \ne 0$, ta có hai trường hợp:

  • $r=0$

  • $2R - 3r = 0 \Leftrightarrow 3r = 2R \Leftrightarrow r = \frac{2}{3}R$.

    Cả hai nghiệm $r=0$ và $r=\frac{2}{3}R$ đều thuộc đoạn [0; R].

• Bước 3: Lập bảng biến thiên

  • Dấu của $V'(r) = kr(2R - 3r)$ phụ thuộc vào dấu của (2R - 3r).

  • Khi $r \in (0; \frac{2}{3}R)$, ta có 2R - 3r > 0, nên V'(r) > 0.

    Hàm số đồng biến.

  • Khi $r \in (\frac{2}{3}R; R)$, ta có 2R - 3r < 0, nên V'(r) < 0.

    Hàm số nghịch biến.

• Bước 4: Tính giá trị của $V(r)$ tại các điểm cần xét

  • $V(0) = k(R - 0) \cdot 0^2 = 0$.

  • $V(R) = k(R - R) \cdot R^2 = 0$.

  • $V(\frac{2}{3}R) = k(R - \frac{2}{3}R)(\frac{2}{3}R)^2$ $= k(\frac{1}{3}R)(\frac{4}{9}R^2) = \frac{4}{27}kR^3$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số V(r) là $\frac{4}{27}kR^3$ tại $r = \frac{2}{3}R$.

Vậy, bán kính của khí quản khi ho bằng $\frac{2}{3}R$ thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất.