Bài 4 trang 20 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a)  trên đoạn [-1; 2]

b) f(x) = x⁴ - 2x³ + x² + 1 trên đoạn [-1; 1]

c) f(x) = e^x(x² - 5x + 7) trên đoạn [0; 3]

d) f(x) = cos2x + 2x +1 trên đoạn [-π/2; π]

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số $f(x)$ trên đoạn [a; b], các em cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm: Tính đạo hàm f′(x) của hàm số.

2. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f′(x)=0 để tìm các nghiệm trên khoảng $(a;b)$.

3. Tính giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai đầu mút của đoạn [a; b], tức là f(a) và f(b).

4. Kết luận: So sánh các giá trị đã tính ở bước 3. Giá trị lớn nhất trong số đó là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn, và giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.

Lời giải chi tiết:

a) $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2$ trên đoạn [-1; 2]

• Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3x$.

• Điểm cực trị: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 1) = 0$ ⇒ x = 0 hoặc x = 1.
  Cả hai nghiệm đều thuộc khoảng (-1; 2).

• Tính giá trị: $f(-1) = (-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2$ $= -1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$.

  $f(0) = 0^3 - \frac{3}{2}(0)^2 = 0$.

  $f(1) = 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

  $f(2) = 2^3 - \frac{3}{2}(2)^2 = 8 - \frac{3}{2}(4) = 8 - 6 = 2$.

• Kết luận: So sánh các giá trị: $2 > 0 > -\frac{1}{2} > -\frac{5}{2}$.

  Vậy, giá trị lớn nhất là 2 tại x = 2. Giá trị nhỏ nhất là $-\frac{5}{2}$ tại x = -1.

b) $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + 1$ trên đoạn [-1; 1]

• Đạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$ $= 2x(2x^2 - 3x + 1) = 2x(2x-1)(x-1)$.

• Điểm cực trị: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = 1$.

  Cả hai nghiệm $x=0$ và $x=\frac{1}{2}$ đều thuộc khoảng (-1; 1), còn x=1 là đầu mút.

• Tính giá trị: $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1$ $= 1 - 2(-1) + 1 + 1 = 1+2+1+1=5$.

  $f(0) = 0^4 - 2(0)^3 + (0)^2 + 1 = 1$.

  $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + 1$

  $= \frac{1}{16} - \frac{2}{8} + \frac{1}{4} + 1$

  $= \frac{1}{16} - \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{16}{16} = \frac{17}{16}$.

  $f(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 + 1 = 1-2+1+1 = 1$.

• Kết luận: So sánh các giá trị: $5 > \frac{17}{16} > 1$.

  Vậy, giá trị lớn nhất là 5 tại x = -1. Giá trị nhỏ nhất là 1 tại x = 0 hoặc x = 1.

c) $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 7)$ trên đoạn [0; 3]

• Đạo hàm:  $f'(x) = e^x(x^2 - 5x + 7) + e^x(2x - 5)$ $= e^x(x^2 - 3x + 2) = e^x(x-1)(x-2)$.

• Điểm cực trị: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x(x-1)(x-2) = 0$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2$. Cả hai nghiệm đều thuộc khoảng (0; 3).

• Tính giá trị: $f(0) = e^0(0^2 - 5(0) + 7) = 1 \cdot 7 = 7$.

  $f(1) = e^1(1^2 - 5(1) + 7) = 3e$.

  $f(2) = e^2(2^2 - 5(2) + 7) = e^2$.

  $f(3) = e^3(3^2 - 5(3) + 7) = e^3$.

• Kết luận: So sánh các giá trị: $e^3 > 3e > e^2 > 7$.

  Vậy, giá trị lớn nhất là e³ tại x = 3. Giá trị nhỏ nhất là 7 tại x = 0.

d) $f(x) = \cos 2x + 2x + 1$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$

• Đạo hàm: $f'(x) = -2\sin 2x + 2 = 2(1-\sin 2x)$.

• Điểm cực trị: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \sin 2x = 0$ $\Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

  Xét trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$:

  • Với k=0, $x = \frac{\pi}{4}$ (thuộc đoạn).

  • Với $k=1, x = \frac{5\pi}{4}$ (không thuộc đoạn).

  • Với $k=-1, x = -\frac{3\pi}{4}$ (không thuộc đoạn).

    Vậy có một điểm cực trị duy nhất là $x = \frac{\pi}{4}$.

• Tính giá trị: $f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\pi) + 2(-\frac{\pi}{2}) + 1 = -1 - \pi + 1 = -\pi$.

  $f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + 2(\frac{\pi}{4}) + 1$ $= 0 + \frac{\pi}{2} + 1= 1 + \frac{\pi}{2}$.

  $f(\pi)= \cos(2\pi) + 2\pi + 1 = 1 + 2\pi + 1 = 2+2\pi$.

• Kết luận: So sánh các giá trị: $2+2\pi > 1+\frac{\pi}{2} > -\pi$.

  Vậy, giá trị lớn nhất là $2+2\pi$ tại $x = \pi$. Giá trị nhỏ nhất là $-\pi$ tại $x = -\frac{\pi}{2}$.