Bài 3 trang 20 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a)  trên khoảng (0; +∞)

b) f(x) = x³ - 12x + 1 trên khoảng (1; +∞)

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f′(x).

3. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình f′(x)=0.

4. Lập bảng biến thiên để xét chiều biến thiên của hàm số.

5. Kết luận về giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định hoặc trên đoạn đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$

• Tập xác định: $D = (0; +\infty)$.

• Đạo hàm: $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Vì ta xét trên khoảng $(0; +\infty)$, ta chọn nghiệm x = 2.

• Bảng biến thiên:

  • Khi x > 2, f'(x) > 0. Hàm số đồng biến.

  • Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0. Hàm số nghịch biến.

  • Giá trị của hàm số tại x=2 là $f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$.

  • Giới hạn khi $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+}(x + \frac{4}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$.

  • Giới hạn khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty}(x + \frac{4}{x}) = +\infty + 0 = +\infty$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 tại x = 2.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x^3 - 12x + 1$ trên khoảng $(1; +\infty)$

• Tập xác định: $D = (1; +\infty)$.

• Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$. Vì ta xét trên khoảng $(1; +\infty)$, ta chọn nghiệm x = 2.

• Bảng biến thiên:

  • Khi x > 2, f'(x) > 0. Hàm số đồng biến.

  • Khi 1 < x < 2, f'(x) < 0. Hàm số nghịch biến.

  • Giá trị của hàm số tại x=2 là $f(2) = 2^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15$.

  • Giá trị của hàm số tại x=1 (đầu mút không bao gồm) là $f(1) = 1^3 - 12(1) + 1 = 1 - 12 + 1 = -10$.

  • Giới hạn khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty}(x^3 - 12x + 1) = +\infty$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -15 tại x = 2.