Hotline 0939 629 809

Các dạng bài tập về tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số - Toán lớp 12

11:30:2010/06/2020

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là khái niệm các em đã làm quen ở những lớp học trước. Tuy nhiên, cũng như các môn học khác, kiến thức ở 12 sẽ có các dạng toán khó hơn phức tạp hơn các lớp trước.

Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

hayhochoi dn2

II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)

b)

c)

° Lời giải:

a)

- Tập xác định : D = R

- Ta có: y' = 3 – 2x

- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.

- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4

- Ta có bảng biến thiên:

câu a bài 1 trang 9 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).

b)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y' = x2 + 6x - 7

- Cho y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7

- Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3;  Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.

- Ta có bảng biến thiên:

câu b bài 1 trang 9 sgk giải tích toán 12

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).

c)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y'= 4x3 – 4x.

- Cho y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

- Tại x = 0 ⇒ y = 3;  Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

- Ta có bảng biến thiên:

câu c bài 1 trang 9 sgk giải tích toán 12

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a)     b)

c)     d)

° Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R {1}

- Ta có: 

 Vì y' không xác định tại x = 1

- Ta có bảng biến thiên sau:

câu a bài 2 trang 10 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

b) Học sinh tự làm

c)

- Tập xác định: D = (-∞;-4]∪[5;+∞)

- Ta có: 

- Cho 

 y' không xác định tại x = -4 và x = 5

- Ta có bảng biến thiên sau

câu c bài 2 trang 10 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).

d) Học sinh tự làm

° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

* Phương pháp:

Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax+ bx+ cx + d; (a≠0).

+ Tính f'(x) =3ax+ 2bx + c, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R 

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R

Đối với hàm phân thức bậc nhất: 

+ Tính , khi đó:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay (ad-bc)>0

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0

* Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Tính f'(x) = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1)

 Đặt g(x) = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1) có a = 3; b = -6m; c = 3(2m - 1);

- Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

 

- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

* Ví dụ 2: Cho hàm số: . Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

° Lời giải:

- TXĐ: R{-m}.

- Ta có:

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

 

- Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

* Phương pháp:

- Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

- Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

* Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 - 3(m + 1)x  - (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 3x2 - 6x - 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

- Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).

 ⇒ 3x2 - 6x - 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 - 2x - m - 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 - 2x - 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

- Đặt y(x) = x2 - 2x - 1 ⇒ y' = 2x - 2

- Cho y' = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

 tính đơn điệu hàm số có tham số

- Từ bảng biến thiên ta có:  

 

- Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

- Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ 3x2 - 6x - 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 - 2x - m - 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 - 2x - 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].

- Đặt y(x) = x2 - 2x - 1  ⇒ y'(x) = 2x - 2

- Cho y'(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

tính đơn điệu hàm số có tham số

- Từ bảng biến thiên ta có:

 

- Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [-1;3].

Như vậy, hy vọng qua bài viết này, các em sẽ dễ dàng giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định hay trên một khoảng cho trước. Việc vận dụng thuần thục dạng toán này sẽ giúp ích cho các em rất nhiều ở các bài tập liên quan hàm số.

Nội dung hàm số ở chương trình lớp 12 vẫn còn rất nhiều các bài toán liên quan, HayHocHoi hẹn gặp các em ở các chuyên đề tiếp theo.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
vũ nguyên bình
cho em hỏi ở ví dụ cuối cái bảng biến thiên -2 mình lấy ở đâu vậy ạ ? em cảm ơn
Trả lời -
6 ngày trước
captcha
...
ngoc minh
ad oiii ở vd1 tìm khoảng đơn điệu trên txđ ấy. delta ' =b' bình - ac
Trả lời -
10/08/2021 - 08:52
...
Admin
Chào e, chỗ đó là kết quả của b'^2-ac đó em: em có b'^2-ac = (3m)^2-3.3(2m-1) = 9m^2 - 18m + 9 = 9(m^2-2m+1) = 9(m-1)^2 đó em.
14/08/2021 - 10:51
...
ngoc minh
b' bình trừ ac <0 mà ad chỉ viết ac <=0 thui ấy ạa
14/08/2021 - 10:52
captcha
...
Giang thảo
Đạo hàm ở vd 1 có chứa tham số m( ko có khoảng) phải là 3x^2 chứ sao lại 2x^2 đề nghị coi lại ạ
Trả lời -
03/08/2021 - 09:46
...
Admin
Cám ơn bạn đã phát hiện và góp ý.
08/08/2021 - 18:00
captcha
...
Đình Ý
Ở phần hàm số có tham số m thì tại sao delta phẩy lại bằng b^2- 3bc ạ , không phải là b^2-3ac hả ad???
Trả lời -
31/07/2021 - 14:41
...
Admin
Chỗ nào em, delta phẩy = b' bình - a.c thôi em nhé, (khi b = 2b') chứ làm gì có đẳng thức delta như em viết, em xem lại nhé.
08/08/2021 - 17:26
captcha
...
Wuppe Pin
ở dạng bài khảng cho trước ạ, đề bài là m để hs đồng biến mà kết luận lại là nghịch biến ạ
Trả lời -
30/06/2021 - 18:35
...
Admin
Cám ơn em đã phản hồi cho ad điều chỉnh nhé, chúc em nhiều thành công !
03/07/2021 - 10:27
captcha
...
Ngọc Hân
bài xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m, vd1 có sai đề ko ạ, ko thì e muốn hỏi tại sao 3mx khi đạo hàm ra lại là 6mx vậy ạ
Trả lời -
23/06/2021 - 09:56
...
Admin
Cám ơn em đã phát hiện, ở đề bài là 3mx^2 em nhé, nên đạo hàm ra 6mx đó em. Chúc em học tốt !
23/06/2021 - 16:27
captcha
...
Mai Anh
Phần cuối cùng câu b đề bài là đồng biến nhưng bài giải là nghịch biến ạ ?
Trả lời -
23/06/2021 - 00:37
...
Admin
Câu b bài nào, hay ví dụ nào em ơi, cám ơn em
28/06/2021 - 08:44
captcha
...
Huy Thảo
up thêm những dạng bài khác đi thầy
Trả lời -
05/06/2021 - 04:19
captcha
...
Minh Hương
chỗ ví dụ 1 của dạng thứ 3 sao dental phẩy lại bằng giá trị như vậy ạ ?
Trả lời -
15/05/2021 - 15:29
captcha
...
Thảo
Má ơi. Ad soạn bài kiểu gì mà cứ bị sai với nhầm lẫn tè le, khiến cho ng đọc khó hiểu.
Trả lời -
10/05/2021 - 16:17
...
Admin
Bài được soạn kỹ, nếu chỗ nào chưa hiểu và em phát hiện chỗ nào sai thì chỉ đúng chỗ đó giúp ad nhé, ad cám ơn nhiều !
11/05/2021 - 15:48
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 17
Tin liên quan