Các dạng bài tập về tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số - Toán lớp 12

Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

» Xem thêm: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)

b)

c)

Lời giải:

a)

- Tập xác định : D = R

- Ta có: y' = 3 – 2x

- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.

- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4

- Ta có bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).

b)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y' = x² + 6x - 7

- Cho y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7

- Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3;  Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.

- Ta có bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).

c)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y'= 4x³ – 4x.

- Cho y' = 0 ⇔ 4x³ – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

- Tại x = 0 ⇒ y = 3;  Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

- Ta có bảng biến thiên:

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a)     b)

c)     d)

Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R {1}

- Ta có: 

 Vì y' không xác định tại x = 1

- Ta có bảng biến thiên sau:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

b) Học sinh tự làm

c)

- Tập xác định: D = (-∞;-4]∪[5;+∞)

- Ta có: 

- Cho 

 y' không xác định tại x = -4 và x = 5

- Ta có bảng biến thiên sau

- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).

d) Học sinh tự làm

Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

* Phương pháp:

• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d; (a≠0).

+ Tính f'(x) =3ax² + 2bx + c, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R 

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R

• Đối với hàm phân thức bậc nhất: 

+ Tính , khi đó:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay (ad-bc)>0

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0

Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Tính f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

 Đặt g(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1) có a = 3; b = -6m; c = 3(2m - 1);

- Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

Ví dụ 2: Cho hàm số: . Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

- TXĐ: R{-m}.

- Ta có:

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

- Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

» Xem thêm: Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

Hàm đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

* Phương pháp:

- Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

- Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² - 3(m + 1)x  - (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 3x² - 6x - 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

- Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).

 ⇒ 3x² - 6x - 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² - 2x - m - 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² - 2x - 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

- Đặt y(x) = x² - 2x - 1 ⇒ y' = 2x - 2

- Cho y' = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có:  

- Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

- Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ 3x² - 6x - 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x² - 2x - m - 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x² - 2x - 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].

- Đặt y(x) = x² - 2x - 1  ⇒ y'(x) = 2x - 2

- Cho y'(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có:

- Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [-1;3].

» Xem thêm: Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b)