Các dạng bài tập về tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số - Toán lớp 12

Bài viết này hệ thống toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải từ cơ bản đến vận dụng cao, đặc biệt là các dạng toán chứa tham số $m$.

I. Lý thuyết trọng tâm về tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ ($K$ có thể là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng):

• Hàm số đồng biến (tăng) trên $K$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

• Hàm số nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

a) Điều kiện cần:

• Hàm số đồng biến trên $K$ thì $f'(x) \geq 0, \forall x \in K$ (đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm).

• Hàm số nghịch biến trên $K$ thì $f'(x) \leq 0, \forall x \in K$ (đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm).

b) Điều kiện đủ:

• $f'(x) > 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $K$.

• $f'(x) < 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $K$.

• $f'(x) = 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số không đổi trên $K$.

I. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu thường gặp

Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không tham số)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ, tính $f'(x)$.

• Bước 2: Tìm các điểm $x$ mà $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.

• Bước 3: Lập bảng biến thiên (BBT).

• Bước 4: Kết luận các khoảng đơn điệu.

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = 4 + 3x - x^2$

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = 3 - 2x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 3/2$.

Ta có bảng biến thiên:

Kết luận: Đồng biến trên $(-\infty; 3/2)$ và nghịch biến trên $(3/2; +\infty)$.

b) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2$

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = x^2 + 6x - 7$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -7$.

Ta có bảng biến thiên:

Kết luận: Đồng biến trên $(-\infty; -7)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-7; 1)$.

c) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

• Tập xác định: D = R

• $y' = 4x^3 - 4x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 1$.

• Tại x = 0 ⇒ y = 3;  Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

Ta có bảng biến thiên:

Ví dụ 2: Các hàm số chứa mẫu và căn

a) $y = \frac{3x+1}{1-x}$

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• $y' = \frac{4}{(1-x)^2} > 0, \forall x \in D$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Kết luận: Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

b) Học sinh tự làm

c) $y = \sqrt{x^2 - x - 20}$

• TXĐ: $D = (-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$.

• $y' = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 20}}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1/2 \notin D$.

Ta có bảng biến thiên sau

Kết luận: Nghịch biến trên $(-\infty; -4)$; đồng biến trên $(5; +\infty)$.

d) Học sinh tự làm

Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

1. Đơn điệu trên tập xác định (TXĐ)

Phương pháp giải:

• Hàm bậc ba ($a \neq 0$): $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Tính $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

  • Đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta_{f'} \leq 0 \end{cases}$.

  • Nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta_{f'} \leq 0 \end{cases}$.

• Hàm phân thức bậc nhất: $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Tính $y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}$.

  • Đồng biến trên các khoảng xác định khi $ad - bc > 0$.

  • Nghịch biến trên các khoảng xác định khi $ad - bc < 0$.

Ví dụ 1: Xác định $m$ để hàm $f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

• $f'(x) = 3x^2 - 6mx + 3(2m - 1)$.

• Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \begin{cases} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 9(m-1)^2 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$.

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

Ví dụ 2: Xác định $m$ để $y = \frac{mx - m + 2}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

• $y' = \frac{m^2 + m - 2}{(x+m)^2}$.

• Để hàm số nghịch biến thì $m^2 + m - 2 < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 1$.

Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

2. Đơn điệu trên khoảng $(a; b)$ cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số xác định trên $(a; b)$.

• Bước 2: Tính $f'(x)$ và cô lập tham số $m$ để giải bất phương trình $f'(x) \geq 0$ (hoặc $\leq 0$) trên $(a; b)$.

Ví dụ:Cho hàm số f(x) = x³ - 3x² - 3(m + 1)x  - (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 3x² - 6x - 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

- Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).

 ⇒ 3x² - 6x - 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² - 2x - m - 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x² - 2x - 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

- Đặt y(x) = x² - 2x - 1 ⇒ y' = 2x - 2

- Cho y' = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có:  $y(x)\geq m,\forall x\in [1;+\infty )$

$\Rightarrow \underset{x\in [1;+\infty )}{Min[y(x)]}=-2\geq m \Rightarrow m\leq -2$

Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

- Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ 3x² - 6x - 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x² - 2x - m - 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x² - 2x - 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].

- Đặt y(x) = x² - 2x - 1  ⇒ y'(x) = 2x - 2

- Cho y'(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có: $y(x)\leq m,\forall x\in [-1;3]$

$\Rightarrow \underset{x\in [-1;3]}{Max[y(x)]}=2\leq\: m\: \Rightarrow\: m\: \geq\: 2$

Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [-1;3].

III. Kinh nghiệm làm bài thi đạt điểm cao

Để giải quyết nhanh các bài toán đơn điệu, học sinh cần lưu ý:

• Nắm vững quy tắc đạo hàm: Đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp và hàm chứa căn thức.

• Kỹ năng cô lập m: Đây là phương pháp "vạn năng" giúp chuyển bài toán tham số về bài toán tìm Min/Max của hàm số.

• Chú ý tập xác định: Rất nhiều học sinh mất điểm do quên điều kiện mẫu số hoặc điều kiện trong căn khi xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.