Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải dạng bài tập: Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R (xác định điều kiện tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập số thực).

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

I. Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào?

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

II. Cách tìm và xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

* Phương pháp:

• Về cơ bản, bài toán tìm điều kiện m để hàm số đồng biến hay nghịch biến ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tính f'(x), áp dụng định lý điều kiện cần

+ Bước 2: Giải phương trình f'(x)≥0 hoặc f'(x)≤0 (áp dụng dấu tam thức bậc 2 trên D).

• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d; (a≠0).

Để xác định m để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ta thực hiện như sau:

+ Tính f'(x) =3ax² + 2bx + c, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba y = f(x) đồng biến trên R 

- Hàm đa thức bậc ba y = f(x) nghịch biến trên R

• Đối với hàm phân thức bậc nhất:  

 Để xác định m để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định ta thực hiện như sau:

+ Tính , khi đó:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay (ad-bc)>0

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0

* Bài tập 1: Cho hàm số: f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1.

Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến trên tập xác định R.

* Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Tính f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

 Đặt g(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

 có a = 3; b = -6m; c = 3(2m - 1);

- Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

* Bài tập 2: Cho hàm số: .

Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

* Lời giải:

- TXĐ: R\{-m}.

- Ta có: 

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

- Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

* Bài tập 3: Cho hàm số: 

Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

* Lời giải:

- TXĐ: R\{-m}.

- Ta có: 

Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì phải có:

 m + 1 > 0 ⇔ m > -1.

Vậy m > -1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định.

* Bài tập 4: Cho hàm số: y = x³ + 2mx + m - 1

Xác định m để hàm số đồng biến trên R

* Bài tập 5: Cho hàm số: 

Xác định m để hàm số nghịch biến trên R

* Bài tập 6: Cho hàm số: y = x + msinx

Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến (tăng) trên tập xác định.

* Bài tập 7: Cho hàm số:

Xác định m để hàm số luôn luôn nghịch biến (giảm) trên tập xác định.

* Bài tập 8: Cho hàm số y = -x³ + mx² - 3x + 1

Tìm m để hàm số luôn luôn nghịch biến trên R.