Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên tập xác định $\mathbb{R}$ hoặc trên từng khoảng xác định.

I. Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào?

1. Định nghĩa tính đơn điệu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng):

• Hàm số đồng biến (tăng) trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

• Hàm số nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

a) Điều kiện cần:

• Hàm số đồng biến trên $K \Rightarrow f'(x) \geq 0, \forall x \in K$ ($f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm).

• Hàm số nghịch biến trên $K \Rightarrow f'(x) \leq 0, \forall x \in K$ ($f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm).

b) Điều kiện đủ:

• $f'(x) > 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $K$.

• $f'(x) < 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $K$.

• $f'(x) = 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số không đổi trên $K$.

II. Cách xác định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định

1. Phương pháp chung

• Bước 1: Tính $f'(x)$.

• Bước 2: Giải bất phương trình $f'(x) \geq 0$ hoặc $f'(x) \leq 0$ bằng cách áp dụng dấu tam thức bậc hai trên tập xác định $D$.

2. Công thức cho các hàm số thường gặp

Đối với hàm đa thức bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \ (a \neq 0)$.

Tính $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Khi đó:

• Đồng biến trên $\mathbb{R}$: $\Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \leq 0 \end{cases}$.

• Nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $\Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \leq 0 \end{cases}$.

Đối với hàm phân thức bậc nhất: $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Tính $y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Khi đó:

• Đồng biến trên các khoảng xác định: $\Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow ad - bc > 0$.

• Nghịch biến trên các khoảng xác định: $\Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow ad - bc < 0$.

III. Bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Hàm bậc ba đồng biến trên $\mathbb{R}$

Cho hàm số: $f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $f'(x) = 3x^2 - 6mx + 3(2m - 1)$.

• Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 9m^2 - 9(2m-1) \leq 0 \end{cases}$.

• $\Leftrightarrow 9(m-1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow m = 1$.

• Kết luận: Với $m = 1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập 2: Hàm phân thức nghịch biến

Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{mx - m + 2}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$.

• $y' = \frac{m^2 - (-m + 2)}{(x + m)^2} = \frac{m^2 + m - 2}{(x + m)^2}$.

• Hàm số nghịch biến $\Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow m^2 + m - 2 < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 1$.

• Kết luận: Với $-2 < m < 1$, hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bài tập 3: Hàm phân thức đồng biến

Xác định $m$ để hàm số $y = \frac{x - 1}{x + m}$ đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$.

• $y' = \frac{m + 1}{(x + m)^2}$.

• Để hàm số đồng biến $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -1$.

• Kết luận: Với $m > -1$, hàm số đồng biến trên tập xác định.

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập 4: Cho hàm số: y = x³ + 2mx + m - 1

Xác định m để hàm số đồng biến trên R

Bài tập 5: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}x^3-2(m+1)x^2-(2m+1)x+m$

Xác định m để hàm số nghịch biến trên R

Bài tập 6: Cho hàm số: y = x + msinx

Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến (tăng) trên tập xác định.

Bài tập 7: Cho hàm số: y=\frac{mx+1}{2x+m+1}

Xác định m để hàm số luôn luôn nghịch biến (giảm) trên tập xác định.

Bài tập 8: Cho hàm số y = -x³ + mx² - 3x + 1

Tìm m để hàm số luôn luôn nghịch biến trên R.