Giải phương trình Mũ và Logarit bằng phương pháp hàm số - Toán 12 chuyên đề

Có những bài toán nếu giải theo cách thông thường sẽ rất bế tắc, nhưng khi vận dụng tính đơn điệu của hàm số, lời giải lại trở nên vô cùng ngắn gọn và bất ngờ. Bài viết này sẽ giúp các em làm chủ chuyên đề này.

I. Các tính chất hàm số cần nhớ

Để áp dụng phương pháp này, chúng ta cần ghi nhớ hai tính chất then chốt sau:

• Tính chất 1: Nếu hàm số $f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên khoảng $(a; b)$ thì phương trình $f(x) = k$ có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng đó.

• Tính chất 2: Nếu hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ và hàm số $g(x)$ là hàm hằng hoặc nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ thì phương trình $f(x) = g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng đó.

II. Các bước giải tổng quát

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x) = k$ hoặc $f(u) = f(v)$.

• Bước 2: Xét hàm số $y = f(x)$, tính đạo hàm để khẳng định hàm số luôn đơn điệu.

• Bước 3: Nhận xét/nhẩm nghiệm $x = x_0$ sao cho $f(x_0) = k$.

• Bước 4: Kết luận $x = x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

III. Hệ thống bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Phương trình có vế trái đơn điệu, vế phải là hằng số

a) Giải phương trình: $2^x + 5^x = 7$

• Lời giải:

  Vế trái (VT) $f(x) = 2^x + 5^x$ là tổng của hai hàm số mũ có cơ số lớn hơn 1 nên là hàm đồng biến.

  Vế phải (VP) $7$ là hàm hằng.

  Nhận thấy với $x = 1$ thì $VT = 2^1 + 5^1 = 7 = VP$.

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 1$.

b) Giải phương trình: $\log_3(x+3) + \log_5(x+5) = 2$

• Lời giải:

  ĐKXĐ: $x > -3$.

  $VT = \log_3(x+3) + \log_5(x+5)$ là hàm đồng biến trên $(-3; +\infty)$.

  $VP = 2$ là hàm hằng.

  Nhận thấy với $x = 0$ thì $VT = \log_3(3) + \log_5(5) = 1 + 1 = 2 = VP$.

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 0$.

Bài tập 2: Vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến

a) Giải phương trình: $5^x = 6 - x$

• Lời giải:

  $VT = 5^x$ là hàm đồng biến. $VP = 6 - x$ là hàm nghịch biến.

  Nhận thấy với $x = 1$ thì $VT = 5^1 = 5$ và $VP = 6 - 1 = 5 \Rightarrow VT = VP$.

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 1$.

b) Giải phương trình: $\log_6 x = 7 - x$

• Lời giải:

  ĐKXĐ: $x > 0$.

  $VT = \log_6 x$ là hàm đồng biến. $VP = 7 - x$ là hàm nghịch biến.

  Nhận thấy với $x = 6$ thì $VT = \log_6 6 = 1$ và $VP = 7 - 6 = 1 \Rightarrow VT = VP$.

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 6$.

Bài tập 3: Biện luận nghiệm bằng tính đơn điệu

Giải phương trình: $\log_2 x + \log_5(2x+1) = 2$

• Lời giải:

  ĐKXĐ: $x > 0$.

  Xét $f(x) = \log_2 x + \log_5(2x+1)$. Đây là hàm đồng biến trên $(0; +\infty)$.

  Nhận thấy $x = 2$ là nghiệm vì $f(2) = \log_2 2 + \log_5 5 = 2$.

  • Nếu $x > 2$ thì $f(x) > f(2) = 2$ (Vô nghiệm).

  • Nếu $0 < x < 2$ thì $f(x) < f(2) = 2$ (Vô nghiệm).

    Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 2$.

Bài tập 4: Phương trình mũ kết hợp Logarit

Giải phương trình: $3^{1-x} - \log_2 x - 1 = 0$

• Lời giải:

  ĐKXĐ: $x > 0$. Phương trình tương đương: $(1/3)^{x-1} = \log_2 x + 1$.

  $VT = (1/3)^{x-1}$ là hàm nghịch biến (cơ số $1/3 < 1$).

  $VP = \log_2 x + 1$ là hàm đồng biến.

  Nhận thấy với $x = 1$ thì $VT = (1/3)^0 = 1$ và $VP = \log_2 1 + 1 = 1$.

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 1$.

Bài tập 5: Sử dụng hàm số đặc trưng $f(u) = f(v)$

Giải phương trình: $2^{\frac{1-x^2}{x^2}} - 2^{\frac{1-2x}{x^2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} \quad (*)$

• Lời giải:

  ĐKXĐ: $x \neq 0$.

  Ta có: $\frac{1}{2} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \left( \frac{1-2x}{x^2} - \frac{1-x^2}{x^2} \right)$.

  Phương trình $(*)$ tương đương:

  $$2^{\frac{1-x^2}{x^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x^2}{x^2} = 2^{\frac{1-2x}{x^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1-2x}{x^2}$$

  Xét hàm đặc trưng $f(t) = 2^t + \frac{1}{2}t$. Vì $f'(t) = 2^t \ln 2 + 1/2 > 0$ nên hàm số đồng biến.

  $\Rightarrow \frac{1-x^2}{x^2} = \frac{1-2x}{x^2} \Leftrightarrow 1-x^2 = 1-2x \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \neq 0$).

  Kết luận: Nghiệm duy nhất $x = 2$.

IV. Bài tập tự luyện hướng dẫn nhanh

Bài tập 1: Giải phương trình mũ sau: $3^{x-2} = 3^{x^2-x-1} + (x-1)^2$.

Hướng dẫn: 

- Nhân 2 vế với phương trình với 3 đưa 2 vế phương trình về dạng:

 f(t) = 3^t + 3t, (t ∈ R)

- Suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất.

Bài tập 2: Giải phương trình mũ sau: $2^{2^x} + 3^{2^x} = 2^x + 3^{x+1} + x + 1$.

Hướng dẫn: 

- Cộng 2 vế phương trình với 2^x đưa 2 vế phương trình về dạng:

 f(t) = 2^t + 3^t + t, (t ∈ R)

- Suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất.

Bài tập 3: Giải phương trình sau: $\frac{18^x+32^x-12^x-16^x}{27^x+36^x+48^x+64^x}=\frac{-5}{2x}$

Hướng dẫn: 

- Điều kiện: x≠0.

- Viết phương trình về dạng: $\frac{2^x}{3^x+4^x}-\frac{4^x}{9^x+16^x}=\frac{-5}{2x}$

$\Leftrightarrow \frac{2^x}{3^x+4^x}+\frac{5}{x}$ $=\frac{2^{2x}}{3^{2x}+4^{2x}}+\frac{5}{2x}$

- Xét hàm số: $f(t)=\frac{2t}{3^t+4^t}+\frac{5}{t}$ luôn đồng biến nên f(t₁) = f(t₂) thì t₁ = t₂.

⇒ 2x = x với điều kiện x≠0 thì phương trình vô nghiệm.