Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa trị tuyệt đối và hàm số chứa tham số trên một đoạn - Toán 12 chuyên đề

Vậy để tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa trị tuyệt đối và tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa tham số trên một khoảng như thế nào? Hãy cùng hayhochoi•vn tìm hiểu qua bài viết dưới đây và vận dụng giải một số bài tập để hiểu rõ hơn nhé.

I. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa trị tuyệt đối và hàm số chứa tham số trên đoạn

• Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b] các em cần thực hiện:

- Tính y' cho y' = 0 để tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, ...)  thuộc [a;b]

- Tìm các giá trị f(x_i); f(a); f(b) so sánh các giá trị, suy ra GTLN, GTNN.

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối y = |f(x)| chứa tham số trên đoạn, ta xét: y = f(x)

- Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)

- Giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(x)| tại maxf(x) hoặc minf(x).

II. Bài tập tìm gtln, gtnn của hàm trị tuyệt đối chứa tham số

* Bài tập 1: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |3x⁴ - 4x³ - 12x² + m| trên đoạn [-1;3]. Có bao nhiêu số thực m để M = 59/2.

* Lời giải:

Xét hàm số u = 3x⁴ - 4x³ - 12x² + m

Có u' = 12x³ - 12x² - 24x

 u' = 0 ⇔ 12x³ - 12x² - 24x = 0

⇔ 12x(x² - x - 2) = 0

⇔ 12x(x + 1)(x - 2) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 2

Khi đó ta có:

Do đó:

Vậy chỉ có một số thực m = 5/2 để giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là M = 59/2.

* Bài tập 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |x³ - 3x + m| trên đoạn [0;2] bằng 3. Tìm số phần tử của S.

* Lời giải:

Xét f(x) = x³ - 3x + m ta có:

 f'(x) = 3x² - 3 = 0

⇔ 3(x² - 1) = 0

⇔ x = 1 ∈ [0;2]

 hoặc x = -1 ∉ [0;2] nên loại.

Khi đó:

Vậy có:

Vậy S có 2 phần tử là m = 1 và m = -1.

* Bài tập 2: Cho hàm số y = |x³ - x² - x + m| với m nguyên. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để

* Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x³ - x² - x + m với x ∈ [1;3]

Ta có f'(x) = 3x² - 2x - 1 = 0

⇔ x = 1 (thoả x ∈ [1;3])

 hoặc x = -1/3 (không thoả x ∈ [1;3])

Khi đó, ta có: f(1) = m - 1;

 f(3) = m + 15

 Suy ra:

- Nếu (m - 1)(m + 15)≤0 ⇔ -15 ≤ m ≤ 1 thì

Vậy trường hợp này sẽ có 17 số nguyên thoả mãn.

- Nếu m - 1 > 0 ⇔ m > 1 thì

Vậy trường hợp này có m = 2, m = 3 thoả, tức là có 2 số nguyên thoả mãn

- Nếu m + 15 < 0 ⇔ m < -15 thì 

Trường hợp này có m = -16, m = -17 thoả, tức là có 2 số nguyên thoả mãn

Vậy tất cả có 21 số nguyên thoả điều kiện bài toán.

* Bài tập 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

  thoả mãn .

Tìm tích các phần tử của S.

Đ/s: Tích S = -4.

* Bài tập 4: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

 thoả mãn

Tính tổng các phần tử của S.

Đ/s: Tổng S = -1.