Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa trị tuyệt đối và hàm số chứa tham số trên một đoạn - Toán 12 chuyên đề

Hãy cùng hayhochoi tìm hiểu phương pháp giải và các bài tập vận dụng cụ thể dưới đây.

I. Phương pháp tìm GTLN, GTNN trên một đoạn

1. Quy trình chung cho hàm số trên đoạn $[a; b]$

Để xác định GTLN và GTNN của một hàm số cơ bản trên đoạn $[a; b]$, thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm $y'$, tìm các nghiệm $x_i \in [a; b]$ sao cho $y' = 0$.

• Bước 2: Tính các giá trị tại hai đầu mút $f(a), f(b)$ và tại các điểm dừng $f(x_i)$.

• Bước 3: So sánh các giá trị đã tính để kết luận GTLN ($\max$) và GTNN ($\min$).

2. Đối với hàm số chứa trị tuyệt đối $y = |f(x)|$

Khi xét hàm số $y = |f(x)|$ có chứa tham số trên một đoạn, ta thực hiện như sau:

• Xét hàm số phụ bên trong trị tuyệt đối: $u = f(x)$.

• Tìm GTLN ($M$) và GTNN ($m$) của hàm số $u = f(x)$ trên đoạn đó.

• GTLN của hàm số $y = |f(x)|$ sẽ là giá trị lớn nhất trong hai giá trị $|M|$ và $|m|$.

II. Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm m để GTLN bằng một số thực cho trước

Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = |3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + m|$ trên đoạn $[-1; 3]$. Có bao nhiêu số thực $m$ để $M = \frac{59}{2}$?

Lời giải:

• Xét hàm số $u = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + m$. Ta có $u' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$.

• $u' = 0 \Leftrightarrow 12x(x + 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x \in \{0; -1; 2\}$.

• Tính các giá trị: $u(-1) = m - 5$; $u(0) = m$; $u(2) = m - 32$; $u(3) = m + 27$.

• Suy ra: $\min_{[-1;3]} u = u(2) = m - 32$ và $\max_{[-1;3]} u = u(3) = m + 27$.

• Khi đó: $M = \max \{ |m - 32|, |m + 27| \} = \frac{59}{2}$.

• Giải hệ điều kiện ta được $m = \frac{5}{2}$.

• Vậy có 1 số thực $m$ thỏa mãn.

Bài tập 2: Tìm m để GTLN đạt giá trị cụ thể

Gọi $S$ là tập các giá trị thực của $m$ sao cho GTLN của hàm số $y = |x^3 - 3x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 3. Tìm số phần tử của $S$.

Lời giải:

• Xét $f(x) = x^3 - 3x + m$, ta có $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0; 2]$ (nghiệm $x = -1$ loại).

• Tính giá trị: $f(0) = m$; $f(1) = m - 2$; $f(2) = m + 2$.

• Suy ra: $A = \max_{[0;2]} f(x) = m + 2$ và $a = \min_{[0;2]} f(x) = m - 2$.

• Yêu cầu bài toán: $\max y = \max \{ |m + 2|, |m - 2| \} = 3$.

• Giải hệ:

  • TH1: $|m + 2| = 3$ và $|m + 2| \geq |m - 2| \Rightarrow m = 1$.

  • TH2: $|m - 2| = 3$ và $|m - 2| \geq |m + 2| \Rightarrow m = -1$.

• Vậy $S = \{1; -1\}$, tập $S$ có 2 phần tử.

Bài tập 3: Đếm số lượng giá trị tham số m nguyên

Cho hàm số $y = |x^3 - x^2 - x + m|$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để $\min_{[1; 3]} y < 3$?

Lời giải:

• Xét $f(x) = x^3 - x^2 - x + m$ trên $[1; 3]$. Ta có $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1/3$ (loại).

• Các giá trị đầu mút: $f(1) = m - 1$ và $f(3) = m + 15$.

• Suy ra $\min f(x) = m - 1$ và $\max f(x) = m + 15$.

• Trường hợp 1: Nếu $(m - 1)(m + 15) \leq 0 \Leftrightarrow -15 \leq m \leq 1$ thì $\min y = 0 < 3$ (đúng). Có 17 số nguyên $m$.

• Trường hợp 2: Nếu $m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$, thì $\min y = m - 1 < 3 \Rightarrow m < 4$. Có $m \in \{2, 3\}$.

• Trường hợp 3: Nếu $m + 15 < 0 \Leftrightarrow m < -15$, thì $\min y = |m + 15| < 3 \Rightarrow -18 < m < -15$. Có $m \in \{-16, -17\}$.

• Kết luận: Tổng cộng có $17 + 2 + 2 = 21$ số nguyên $m$ thỏa mãn.

III. Bài tập tự luyện nâng cao

• Bài tập 4: Gọi $S$ là tập tất cả giá trị $m$ để hàm số $y = \left| \frac{x - m^2 - m}{x + 2} \right|$ thỏa mãn $\max_{[1; 3]} y = 1$. Tìm tích các phần tử của $S$. (Đ/s: $-4$).

• Bài tập 5: Gọi $S$ là tập tất cả giá trị $m$ để hàm số $y = \left| \frac{x^2 - mx + 2m}{x - 2} \right|$ thỏa mãn $\max_{[-1; 1]} y = 3$. Tính tổng các phần tử của $S$. (Đ/s: $-1$).