Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng (đầy đủ, dễ hiểu nhất) - Toán 12 Chuyên đề

Để giúp các em tự tin chinh phục chuyên đề này, bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức trọng tâm, phương pháp giải chi tiết và hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao.

I. Bảng công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

Để giải nhanh các bài tập, các em cần thuộc lòng bảng nguyên hàm cơ bản sau:

1. $\int dx = x + C$

2. $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C \quad (\alpha \neq -1)$

3. $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$

4. $\int e^{x}dx = e^{x} + C$

5. $\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \quad (0 < a \neq 1)$

6. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

7. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

8. $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$

9. $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$

II. Công thức nguyên hàm của các hàm số hợp

Với $u = u(x)$ là một hàm số theo biến $x$, ta có các công thức mở rộng:

1. $\int du = u + C$

2. $\int u^\alpha du = \frac{u^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C \quad (\alpha \neq -1)$

3. $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \quad (u \neq 0)$

4. $\int e^{u}du = e^{u} + C$

5. $\int a^{u}du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C$

6. $\int \cos u \, du = \sin u + C$

7. $\int \sin u \, du = -\cos u + C$

8. $\int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C$

9. $\int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C$

III. Phương pháp và Bài tập tìm nguyên hàm của hàm $f(x)$

1. Phương pháp giải chung

• Phép biến đổi trực tiếp: Phân tích $f(x)$ thành tổng hoặc hiệu của các hàm số sơ cấp để áp dụng bảng công thức.

• Phương pháp đổi biến số: Đặt $u = \phi(x)$ để đưa về dạng nguyên hàm cơ bản.

• Phương pháp nguyên hàm từng phần: Sử dụng công thức $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

2. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số lượng giác

• a) $f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}$

  $\int f(x)dx = \int \frac{d(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \ln|\sin x + \cos x| + C$.

  (Lưu ý: $d(u) = u'(x)dx$, ví dụ $d(\sin x + \cos x) = (\cos x - \sin x)dx$).

• b) $g(x) = \frac{\cos 2x}{\sin x + \cos x}$

  $\int g(x)dx = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x + \cos x}dx = \int (\cos x - \sin x)dx = \sin x + \cos x + C$.

• c) $h(x) = \frac{1}{\tan^5 x}$

  $\int h(x)dx = \int \cot^5 x dx = \int \frac{\cos^4 x \cdot \cos x}{\sin^5 x}dx = \int \frac{(1 - \sin^2 x)^2}{\sin^5 x} d(\sin x)$

  $= \int \left( \frac{1}{\sin^5 x} - \frac{2}{\sin^3 x} + \frac{1}{\sin x} \right) d(\sin x) = \ln|\sin x| + \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{4\sin^4 x} + C$.

• d) $u(x) = \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}$

  $\int u(x)dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \tan x - \cot x + C$.

Bài tập 2: Phương pháp Đổi biến số và Nguyên hàm từng phần

• a) $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x^3}$

  Đặt $u = 1 - x^3 \Rightarrow du = -3x^2 dx \Rightarrow x^2 dx = -\frac{1}{3} du$.

  $\int f(x)dx = -\frac{1}{3} \int u^{1/2} du = -\frac{2}{9} u^{3/2} + C = -\frac{2}{9}(1 - x^3)\sqrt{1 - x^3} + C$.

• b) $g(x) = x \sin x$

  Đặt $u = x \Rightarrow du = dx$; $dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x$.

  $\int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$.

Bài tập 3: Biến đổi hàm số và Từng phần với hàm mũ

• a) $f(x) = \frac{\cos^4 x - 1}{\cos^2 x}$

  $\int f(x)dx = \int \left( \cos^2 x - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx = \int \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x - \tan x + C$.

• b) $f(x) = x e^x$

  Đặt $u = x \Rightarrow du = dx$; $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$.

  $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$.

Bài tập 4: Tìm nguyên hàm $F(x)$ thỏa mãn điều kiện $F(x_0) = k$

Cho $f(x) = \cos^4 x - \sin^4 x$. Tìm $F(x)$ biết $F(\pi/6) = 0$.

• Lời giải:

  Ta có $f(x) = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x$.

  $F(x) = \int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$.

  Vì $F(\pi/6) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \sin(\pi/3) + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{\sqrt{3}}{4}$.

  Vậy $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Bài tập 5: Tìm nguyên hàm bằng cách nhân liên hợp

Cho $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x + 3} - \sqrt{5x + 1}}$. Tìm $F(x)$ biết $F(0) = 0$.

• Lời giải:

  Nhân liên hợp: $f(x) = \frac{\sqrt{5x+3} + \sqrt{5x+1}}{2} = \frac{1}{2} [ (5x+3)^{1/2} + (5x+1)^{1/2} ]$.

  $F(x) = \frac{1}{2} \int [ (5x+3)^{1/2} + (5x+1)^{1/2} ] dx = \frac{1}{15}(5x+3)^{3/2} + \frac{1}{15}(5x+1)^{3/2} + C$.

  Vì $F(0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{15}(3\sqrt{3}) + \frac{1}{15}(1) + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1 + 3\sqrt{3}}{15}$.

  Vậy $F(x) = \frac{1}{15}(5x+3)^{3/2} + \frac{1}{15}(5x+1)^{3/2} - \frac{1 + 3\sqrt{3}}{15}$.

> Nhận xét: Ở bài tập 4 và 5, yêu cầu là tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước. Chúng ta tìm họ nguyên hàm $F(x)$ trước, sau đó thay giả thiết vào để xác định giá trị cụ thể của hằng số $C$.

IV. Bài tập tự luyện (Có đáp án)

• Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = \frac{(x - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{1 + \sqrt{x}}$.

  • Đáp án: $F(x) = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - x + C$.

• Bài tập 2: Cho $\int f(x)dx = \frac{1}{(x + 1)^2} + C$. Tìm $f(x)$.

  • Đáp án: $f(x) = F'(x) = \frac{-2}{(x + 1)^3}$.

• Bài tập 3: Cho $\int f(x)dx = e^{x + \ln x} + C$. Tìm $f(x)$.

  • Đáp án: $f(x) = (x+1)e^x$.