Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng - Toán 12 Chuyên đề

09:02:3412/12/2020

Tìm nguyên hàm của hàm số là kiến thức nền giúp các em dễ dàng tiếp thu nội dung về tích phân, và nguyên hàm - tích phân là một trong những dạng toàn thường có trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia hàng năm.

Vậy tìm nguyên hàm của hàm số f(x) như thế nào? Bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số sau đó vận dụng vào các bài tập minh họa tìm nguyên hàm để các em dễ hiểu hơn. Để thuận tiện việc giải các bài tập tìm nguyên hàm các em cần nhớ một số công thức tính nguyên hàm sau:

I. Công thức nguyên hàm của các hàm sơ cấp

$1.\: \int dx=x+C$

$2.\: \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.\: (\alpha \neq 1)$

$3.\: \int \frac{dx}{x}=ln|x|+C$

$4.\: \int e^{x}dx=e^{x}+C$

$5.\: \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C$

$6.\: \int cosxdx=sinx+C$

$7.\: \int sinxdx=-cosx+C$

$8.\: \int \frac{dx}{cos^2x}=tanx+C$

$9.\: \int \frac{dx}{sin^2x}=-cotx+C$

II. Công thức nguyên hàm của các hàm hợp

$1.\: \int du=u+C$

$2.\: \int u^\alpha du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.\: (\alpha \neq 1)$

$3.\: \int \frac{d}{u}=ln|u|+C,\: (u=u(x)\neq 0)$

$4.\: \int e^{u}du=e^{u}+C$

$5.\: \int a^{u}du=\frac{a^{u}}{lna}+C,\: (0<a\neq 1)$

$6.\: \int cosudu=sinu+C$

$7.\: \int sinudu=-cosu+C$

$8.\: \int \frac{du}{cos^2u}=tanu+C$

$9.\: \int \frac{du}{sin^2u}=-cotu+C$

> Lưu ý: trong các công thức trên thì ham u = u(x) là hàm theo biến x.

III. Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm f(x)

* Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm f(x)

- Phân tích f(x) thành tổng (hiệu) của các hàm số sơ cấp cơ bản (có công thức tính nguyên hàm như ở trên), tính nguyên hàm của từng hàm số rồi suy ra kết quả.

- Dùng các phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp nguyên hàm từng phần

>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

>> Xem thêm: Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

* Bài tập minh họa tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

* Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm của:

$a)\: f(x)=\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}$ $b)\: g(x)=\frac{cos2x}{sinx+cosx}$

$c)\: h(x)=\frac{1}{tan^5x}$ $d)\: u(x)=\frac{1}{sin^2x.cos^2x}$

* Lời giải:

a) Ta có:

$\dpi{100} \int f(x)dx=\int \frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx$ $=\int \frac{d(sinx+cosx)}{sinx+cosx}=ln|sinx+cosx|+C$

> Lưu ý: d(u) = u'(x)dx.

Ví dụ: d(sinx + cosx) = (sinx + cosx)'dx = (cosx - sinx)dx.

b) Ta có:

$\int g(x)dx=\int \frac{cos2x}{sinx+cosx}dx=\int \frac{cos^2x-sin^2x}{sinx+cosx}dx$

$=\int \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{sinx+cosx}dx$ $=\int (cosx-sinx)dx=sinx+cosx+C$

c) Ta có:

$\int h(x)dx=\int \frac{1}{tan^5x}dx=\int cot^5xdx=\int \frac{cos^5x}{sin^5x}dx$

$=\int \frac{cos^4x.cosx}{sin^5x}dx=\int \frac{(1-sin^2x)^2}{sin^5x}d(sinx)$

$=\int \left ( \frac{1}{sinx}-\frac{2}{sin^3x}+\frac{1}{sin^5x} \right )d(sinx)$ $=ln|sinx|+\frac{1}{sin^2x}-\frac{1}{4sin^4x}+C$

d) Ta có:

$\int u(x)dx=\int \frac{1}{sin^x.cos^x}dx=\int \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x.cos^2x}dx$

$=\int \left (\frac{sin^2x}{sin^2x.cos^2x}+\frac{cos^2x}{sin^2x.cos^2x} \right )dx=\int \left ( \frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{sin^2x} \right )dx$

$=\int \frac{1}{cos^2x}dx+\int \frac{1}{sin^2x}dx=tanx-cotx+C$

> Lưu ý: Các bước làm ở trên có thể dài dòng với một số bạn, tuy nhiên HayHocHoi mong muốn các bạn hiểu rõ từng bước biến đổi vừa để ôn lại công thức vừa dễ dàng hiểu rõ hơn. Sau khi đã nhuần nhuyễn các công thức bước làm, các em có thể làm gọn hơn đặc biệt là khi làm trắc nghiệm.

* Bài tập 2: Tìm nguyên hàm các hàm sau:

$a)\: f(x)=x^{2}.\sqrt{1-x^3}dx$ $b)\: g(x)=xsinx$

* Lời giải:

a) Ta có: $\int f(x)dx=\int x^{2}.\sqrt{1-x^3}dx$

- Ta sử dụng phương pháp đổi biến số:

Đặt u = 1 - x³ ⇒ du = -3x²dx ⇒ x²dx = -(1/3)du. Khi đó ta được:

$\int \sqrt{1-x^3}.x^2dx=-\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{2}}du=-\frac{1}{3}.\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=-\frac{2}{9}(1-x^3)\sqrt{1-x^3}+C$

b) Ta có: $\int g(x)dx=\int xsinxdx$

- Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt u = x; dv = sinxdx thì du = dx; v = -cosx. Khi đó theo công thức nguyên hàm:

$\int udv=uv-\int vdu$

Thì ta được:

$\int xsinxdx=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx + sinx+C$

* Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số f(x) sau:

$a)\: f(x)=\frac{cos^4x-1}{cos^2x}$ $b)\: f(x)=xe^x$

* Lời giải:

a) Ta có:

$\int f(x)dx=\int \frac{cos^4x-1}{cos^2x}dx=\int \left ( cos^2x-\frac{1}{cos^2x} \right )dx$

$=\int \left ( \frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{cos^2x} \right )dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int cos2xdx-\int \frac{dx}{cos^2x}$

$=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}sin2x-tanx+C$

b) Ta có:

$\int f(x)dx=\int xe^xdx$

- Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần

Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = e^xdx ⇒ v = e^x khi đó vận dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:

$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$

* Bài tập 4. Cho f(x) = cos⁴x - sin⁴x. Tìm nguyên hàm của hàm F(x) biết rằng F(π/6) = 0.

* Lời giải:

- Ta có: f(x) = cos⁴x - sin⁴x = (cos²x - sin²x)(cos²x + sin²x) = cos²x - sin²x = cos2x

Do đó: $F(x)=\int f(x)dx=\int cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C$

$F\left ( \frac{\pi }{6} \right )=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin\left ( \frac{\pi }{3} \right )+C=0\Rightarrow C=-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy $F(x)=\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}$

* Bài tập 5: Cho hàm $f(x)=\frac{1}{\sqrt{5x+3}-\sqrt{5x+1}}$ . Tìm nguyên hàm F(x) biết F(0) = 0.

* Lời giải:

- Ta nhân tử và mẫu của f(x) với $\sqrt{5x+3}+\sqrt{5x+1}$ ta được

$f(x)=\frac{\sqrt{5x+3}+\sqrt{5x+1}}{2}=\frac{1}{2}\left [ (5x+3)^{\frac{1}{2}}+(5x+1)^{\frac{1}{2}} \right ]$

Do đó: $F(x)=\int f(x)dx=f(x)=\frac{1}{2}\int \left [ (5x+3)^{\frac{1}{2}}+(5x+1)^{\frac{1}{2}} \right ]dx$

$\dpi{100} =\frac{1}{15}(5x+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$F(0)=0\Leftrightarrow \frac{1}{15}(5.0+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5.0+1)^{\frac{3}{2}}+C=0$ $\Rightarrow C=-\frac{1+3\sqrt{3}}{15}$

Vậy $F(x) =\frac{1}{15}(5x+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{1+3\sqrt{3}}{15}$

> Nhận xét: Như vậy với bài tập 4 và bài tập 5 là một dạng khác với các bài 1,2,3. Ở bài tập 4,5 yêu cầu chúng ta tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa điều kiện cho trước. Việc này chúng ta cũng làm tương tự là tìm họ nguyên hàm F(x) trước. Sau đó dựa vào yêu cầu bài toán (giả thiết) để suy ra giá trị của C.

IV. Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số f(x) học sinh tự làm

* Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{(x-1)(x+\sqrt{x}+1)}{1+\sqrt{x}}$

* Đáp án bài tập 1:

$F(x)=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-x+C$

* Bài tập 2: Cho $\int f(x)dx=\frac{1}{(x+1)^2}+C$ , tìm f(x).

* Đáp án bài tập 2:

$F(x)=\int f(x)dx=\frac{1}{(x+1)^2}+C=(x+1)^{-2}+C$

$\Rightarrow F'(x)=-2(x+1)^{-3}$ nên $f(x)=F'(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}$

* Bài tập 3: Cho $\int f(x)dx=e^{x+lnx}+C$ . Tìm f(x)

* Đáp án bài 3:

f(x)=F'(x)=(x+1)e^x

Như vậy, để tìm được nguyên hàm của hàm f(x) các em cần vận dụng các phép biến đổi cùng phương pháp nguyên hàm từng phần hoặc đổi biến số. Việc biến đổi để giải các bài tập luôn đòi hỏi các em phải nhớ nhiều công thức từ đạo hàm tới nguyên hàm. Vì vậy để ghi nhớ các công thức không gì khác là các em cần làm nhiều bài tập hơn, các em hãy cố gắng để học tốt nhé.

Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng - Toán 12 Chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét