Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn tập lại một số kiến thức liên quan để vận dụng giải bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz trong nội dung toán lớp 12.

I. Tích vô hướng của 2 vectơ lớp 12: Tóm tắt kiến thức

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ  và  được xác định bởi công thức:

» xem thêm: Công thức tích vô hướng của 2 vectơ, biểu thức tọa độ và ứng dụng của tích vô hướng trong không gian

• Công thức tính độ dài của một vectơ

- Cho vectơ . Ta biết rằng  hay 

Do đó: 

• Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

- Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài vectơ . Do đó, ta có:

• Công thức tính góc giữa 2 vectơ

- Nếu φ là góc giữa hai vectơ  và  với  và  khác  thì:

  do đó:

Từ đó, suy ra: 

II. Một số dạng bài tập tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz

* Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;3) và B(3;2;-4). Tính toạ độ vectơ 

* Lời giải:

- Ta có: 

 Vậy: 

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm M. Tính toạ độ điểm M.

* Lời giải:

- Ta có M là hình chiếu vuông góc của của A trên Oyz ⇒ x_M = 0

Do đó toạ độ điểm M(0;-2;3).

* Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(3;-2;3) và B(-1;2;5). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

* Lời giải:

- Toạ độ trung điểm I(x_I;y_I) của AB:

Vậy toạ độ điểm I(1;0;4)

* Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và B(2;4;-1). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác OAB.

* Lời giải:

- Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB, ta có:

Vậy toạ độ trọng tâm G của OAB là: G(1;2;1)

* Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3) và C(-3;5;1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Lời giải:

- Ta có: 

Vậy toạ độ điểm D(-4;8;-3)