Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Để giúp các em nắm vững chuyên đề này, bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm và các dạng bài tập vận dụng chi tiết trong chương trình Hình học 12.

I. Tích vô hướng của 2 vectơ lớp 12: Tóm tắt kiến thức

Để giải quyết các bài toán trong không gian $Oxyz$, các em cần ghi nhớ các biểu thức tọa độ và công thức sau:

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích vô hướng của hai vectơ được xác định bởi công thức:

2. Công thức tính độ dài của một vectơ

Cho vectơ $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là:

3. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

Cho 2 điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ chính là độ dài của vectơ $\vec{AB}$:

4. Công thức tính góc giữa 2 vectơ

Nếu $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$) thì:

• Lưu ý: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$.

II. Các dạng bài tập tích vô hướng trong không gian Oxyz

Bài tập 1: Tính tọa độ vectơ từ hai điểm cho trước

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-1;3)$ và $B(3;2;-4)$. Tính tọa độ vectơ $\vec{AB}$.

Lời giải:

Ta có: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3-2; 2-(-1); -4-3)$.

Vậy: $\vec{AB} = (1; 3; -7)$.

Bài tập 2: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $M$. Tính tọa độ điểm $M$.

Lời giải:

Điểm $M$ là hình chiếu vuông góc của $A(x;y;z)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ thì tọa độ $x_M = 0$, các tọa độ còn lại giữ nguyên.

Do đó, tọa độ điểm $M(0; -2; 3)$.

Bài tập 3: Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho 2 điểm $A(3;-2;3)$ và $B(-1;2;5)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.

Lời giải:

Tọa độ trung điểm $I(x_I; y_I; z_I)$ được tính như sau:

• $x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$

• $y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{(-2) + 2}{2} = 0$

• $z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

  Vậy tọa độ điểm $I(1; 0; 4)$.

Bài tập 4: Tìm tọa độ trọng tâm tam giác

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;4)$ và $B(2;4;-1)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$.

Lời giải:

Tam giác $OAB$ có 3 đỉnh $A(1;2;4)$, $B(2;4;-1)$ và gốc tọa độ $O(0;0;0)$.

• $x_G = \frac{x_A + x_B + x_O}{3} = \frac{1 + 2 + 0}{3} = 1$

• $y_G = \frac{y_A + y_B + y_O}{3} = \frac{2 + 4 + 0}{3} = 2$

• $z_G = \frac{z_A + z_B + z_O}{3} = \frac{4 + (-1) + 0}{3} = 1$

  Vậy tọa độ trọng tâm là $G(1; 2; 1)$.

Bài tập 5: Tìm điểm để tạo thành hình bình hành

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$ và $C(-3;5;1)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\vec{AD} = \vec{BC}$.

• Ta có: $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-3-2; 5-(-1); 1-3) = (-5; 6; -2)$.

• Gọi $D(x_D; y_D; z_D)$, ta có $\vec{AD} = (x_D - 1; y_D - 2; z_D + 1)$.

  Để $\vec{AD} = \vec{BC}$:

  $$\begin{cases} x_D - 1 = -5 \\ y_D - 2 = 6 \\ z_D + 1 = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_D = -4 \\ y_D = 8 \\ z_D = -3 \end{cases}$$

  Vậy tọa độ điểm $D(-4; 8; -3)$.