Cách tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số Lượng giác - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức và nắm vững phương pháp giải các bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác trong chương trình Toán 12.

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D \subset \mathbb{R}$.

• Giá trị lớn nhất: Nếu tồn tại một điểm $x_0 \in X$ sao cho $f(x) \le f(x_0)$ với mọi $x \in X$ thì số $M = f(x_0)$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $f$ trên $X$.

  • Ký hiệu: $M = \max_{x \in X} f(x)$

• Giá trị nhỏ nhất: Nếu tồn tại một điểm $x_0 \in X$ sao cho $f(x) \ge f(x_0)$ với mọi $x \in X$ thì số $m = f(x_0)$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $X$.

  • Ký hiệu: $m = \min_{x \in X} f(x)$

II. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

1. Phương pháp chung

Để tìm $M$ và $m$ của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[a; b]$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các nghiệm $x_i$ của phương trình $f'(x) = 0$ trên $[a; b]$.

• Bước 2: Tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), \dots, f(b)$.

• Bước 3: So sánh các giá trị đã tính để chọn ra giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$.

Lưu ý:

• Nếu hàm số liên tục trên $D$ và chỉ có 1 cực trị thì: cực trị đó là GTLN nếu là cực đại, và là GTNN nếu là cực tiểu.

• Nếu tìm trên khoảng $(a; b)$, ta tính thêm các giới hạn tại hai đầu khoảng để so sánh (nhưng không chọn giới hạn làm GTLN/GTNN).

2. Các bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \sin x \cdot \sin 2x$ trên $[0; \pi]$

Lời giải:

Ta có: $f(x) = \sin x \cdot \sin 2x = 2\sin^2 x \cos x = 2(1 - \cos^2 x)\cos x = 2\cos x - 2\cos^3 x$.

Hoặc biến đổi: $f(x) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}(3\sin 3x - \sin x)$.

Giải $f'(x) = 0$ trên $[0; \pi]$, ta xét các giá trị:

• Tại $x = 0 \Rightarrow f(0) = 0$

• Tại $x = \pi \Rightarrow f(\pi) = 0$

• Tại $x = \arccos\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow f(x) = \frac{4}{3\sqrt{3}}$

• Tại $x = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \Rightarrow f(x) = -\frac{4}{3\sqrt{3}}$

Kết luận: $M = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ và $m = -\frac{4}{3\sqrt{3}}$.

Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của $y = \sin x + \cos x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$

Lời giải:

• Cách 1: Tính đạo hàm $f'(x) = \cos x - \sin x$.

  $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{5\pi}{4}$.

  Tính các giá trị: $f(0) = 1; f(2\pi) = 1; f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}; f(\frac{5\pi}{4}) = -\sqrt{2}$.

• Cách 2: Dùng công thức $f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

  Vì $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ nên $-\sqrt{2} \le f(x) \le \sqrt{2}$.

Kết luận: $M = \sqrt{2}$ và $m = -\sqrt{2}$.

Bài tập 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: $(3\sin x + 4\cos x)^2 \le (3^2 + 4^2)(\sin^2 x + \cos^2 x) = 25$.

$\Rightarrow -5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5$.

Cộng thêm 1 vào các vế: $-4 \le y \le 6$.

Kết luận: $M = 6$ (khi $\tan x = 3/4$) và $m = -4$ (khi $\tan x = -3/4$).

Nhận xét: Tổng quát $- \sqrt{a^2+b^2} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt{a^2+b^2}$.

Bài tập 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = 3\cos x + \sin x - 2$

Lời giải:

Tương tự bài 3, ta có: $-\sqrt{3^2+1^2} \le 3\cos x + \sin x \le \sqrt{3^2+1^2}$.

$\Rightarrow -\sqrt{10} \le 3\cos x + \sin x \le \sqrt{10}$.

Kết luận: $M = -2 + \sqrt{10}$ và $m = -2 - \sqrt{10}$.

Bài tập 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = 3\cos x + 2$

Lời giải:

Ta có: $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\cos x \le 3 \Rightarrow -1 \le 3\cos x + 2 \le 5$.

(Lưu ý: Đề bài gốc ghi +2 ở tiêu đề nhưng lời giải tính là +1, ở đây chuẩn hóa theo đề bài $y = 3\cos x + 2$).

Kết luận: $M = 5$ (khi $x = k2\pi$) và $m = -1$ (khi $x = \pi + k2\pi$).

Bài tập 6: Tìm $m$ để phương trình $m(1 + \cos x)^2 = 2\sin 2x + 2$ có nghiệm trên $[-\pi/2; \pi/2]$

Lời giải:

Phương trình tương đương: $m = \frac{2\sin 2x + 2}{(1 + \cos x)^2} \quad (*)$.

Đặt $t = \tan\frac{x}{2} \in [-1; 1]$. Khi đó: $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}; \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

$(*) \Leftrightarrow t^4 - 4t^3 + 2t^2 + 4t + 1 = 2m$.

Xét $f(t) = t^4 - 4t^3 + 2t^2 + 4t + 1$ trên $[-1; 1]$.

$f'(t) = 4t^3 - 12t^2 + 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1; t = 1 - \sqrt{2}$.

Ta tính được: $\min f(t) = 0$ và $\max f(t) = 4$.

Để phương trình có nghiệm: $0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2$.

III. Bài tập tự luyện (Có đáp số)

• Bài tập 1: Tìm $M, m$ của $f(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}$ trên $[0; \pi]$.

  • Đáp số: $M = \frac{\sqrt{3}}{3}$ tại $x = \frac{2\pi}{3}$; $m = 0$ tại $x = 0, \pi$.

• Bài tập 2: Tìm $M, m$ của $f(x) = 2\cos 2x - 3\cos x - 4$ trên $[-\pi/2; \pi/2]$.

  • Đáp số: $M = -4$ tại $x = 0$; $m = -41/8$ tại $\cos x = 3/4$.

• Bài tập 3: Tìm $M$ của $f(x) = x + 2\cos x$ trên $(0; \pi/2)$.

  • Đáp số: $M = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$ tại $x = \frac{\pi}{6}$.

• Bài tập 4: Tìm $M, m$ của $f(x) = 2\sin^2 x + 2\sin x - 4$.

  • Đáp số: $M = 0$ tại $\sin x = 1$; $m = -9/2$ tại $\sin x = -1/2$.

• Bài tập 5: Tìm $M$ của $y = x + \sin 2x$ trên $[-\pi/2; \pi/2]$.

  • Đáp số: $M = \frac{\pi}{2}$ tại $x = \frac{\pi}{2}$.