Các dạng bài tập về thể tích khối đa diện khối chóp, khối lăng trụ (cực hay) - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ công thức tính thể tích khối đa diện (khối chóp, lăng trụ, khối cầu, trụ, nón...) và các dạng bài tập vận dụng có lời giải chi tiết, giúp các em học sinh ôn tập hiệu quả.

I. Công thức tính thể tích khối đa diện

1. Công thức tính thể tích khối chóp

• Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$

• Trong đó: $B$ là diện tích mặt đáy; $h$ là độ dài đường cao.

2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ

• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$

• Trong đó: $B$ là diện tích mặt đáy; $h$ là độ dài đường cao.

3. Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

• Thể tích hình hộp chữ nhật: $V = a.b.c = \sqrt{S_1.S_2.S_3}$ ($a, b, c$ là độ dài các cạnh dài, rộng, cao).

• Độ dài đường chéo: $l = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

4. Công thức tính thể tích khối lập phương

• Thể tích khối lập phương: $V = a^3$ ($a$ là độ dài cạnh).

• Độ dài đường chéo: $l = a\sqrt{3}$.

5. Công thức tính thể tích khối chóp cụt

• Thể tích khối chóp cụt: $V = \frac{h}{3}\left( B + B' + \sqrt{B.B'} \right)$ ($B, B'$ là diện tích hai đáy, $h$ là chiều cao).

6. Thể tích và diện tích hình cầu (Khối cầu)

• Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

• Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$.

7. Thể tích và diện tích hình trụ (Khối trụ)

• Thể tích khối trụ: $V = B.h = \pi r^2.h$.

• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi.r.h$.

• Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi.r.h + 2\pi.r^2$.

• Lưu ý: Với hình trụ thì chiều cao bằng độ dài đường sinh ($h = l$).

8. Thể tích và diện tích hình nón (Khối nón)

• Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}\pi r^2.h$.

• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi.r.l$.

• Diện tích toàn phần: $S_{tp} = \pi.r.l + \pi.r^2$ ($l$ là độ dài đường sinh).

II. Các dạng bài tập tính thể tích khối đa diện

Phương pháp giải chung:

• Bài toán cơ bản: Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích của khối đa diện.

• Bài toán khó hơn: Cần chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối nhỏ này có thể tính bằng công thức, hoặc sử dụng phương pháp phần bù.

1. Dạng bài tập tính thể tích khối chóp

Ở dạng này thường gặp các bài toán: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên vuông góc với đáy, hoặc tính tỉ số thể tích.

Ví dụ 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.

• Lời giải:

   

  Tứ diện đều cạnh a minh họa như hình sau:Gọi $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$, $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD \Rightarrow AH \perp (BCD)$.

  Vì $\triangle BCD$ đều nên $H$ là trọng tâm. Gọi $M$ là trung điểm $CD$, ta có $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BH = \frac{2}{3}BM = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

  Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $AH = \sqrt{AB^2 - HB^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

  Diện tích $S_{\triangle BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

  Vậy $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ví dụ 2: Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tính tỉ số giữa thể tích khối hộp và khối tứ diện $ACB'D'$.

• Lời giải:

  Minh họa khối hộp như hình vẽ:

  

  Gọi $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao khối hộp $\Rightarrow V_{hộp} = S.h$.

  Chia khối hộp thành tứ diện $ACB'D'$ và bốn khối chóp: $A.A'B'D', C.C'B'D', B'.BAC, D'.DAC$.

  Xét $V_{A.A'B'D'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} \cdot h = \frac{S.h}{6}$.

  Tương tự, các khối chóp còn lại có thể tích bằng $\frac{S.h}{6}$.

  $\Rightarrow V_{ACB'D'} = S.h - 4 \cdot \frac{S.h}{6} = \frac{S.h}{3}$.

  Tỉ số: $\frac{V_{hộp}}{V_{ACB'D'}} = 3$.

Ví dụ 3: Cho $\triangle ABC$ vuông cân ở $A$, $AB = a$. Trên đường thẳng qua $C \perp (ABC)$ lấy $D$ sao cho $CD = a$. Mặt phẳng qua $C \perp BD$ cắt $BD$ tại $F$, $AD$ tại $E$. Tính $V_{CDEF}$.

• Lời giải:

   

  Minh họa như hình vẽ sau:
  Ta chứng minh được $CE \perp (ABD) \Rightarrow CE \perp EF, CE \perp AD$.

  Tính toán được $CE = \frac{a\sqrt{2}}{2}, EF = \frac{a\sqrt{6}}{6}, DF = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

  $S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2}FE.EC = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

  Vậy $V_{D.CEF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3}{36}$.

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ vuông cân ở $B, AC=a\sqrt{2}, SA \perp (ABC), SA = a$. Tính $V_{S.ABC}$.

• Lời giải:

  Minh họa hình chóp như hình vẽ sau:

  

  $\triangle ABC$ vuông cân ở $B \Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a \Rightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}a^2$.

  Vì $SA$ là đường cao nên $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^3}{6}$.

Ví dụ 5: Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD = 2a, AB = a$. $H$ là trung điểm $AD, SH \perp (ABCD), SA=a\sqrt{5}$. Tính $V_{S.ABCD}$.

• Lời giải:

   

  Minh họa hình chóp như sau:

$AH = a$. Chiều cao $SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{5a^2 - a^2} = 2a$.

$V = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot (2a.a) = \frac{4}{3}a^3$.

2. Dạng bài tập tính thể tích khối lăng trụ

• Lời giải:

   

  Minh họa lăng trụ như hình sau:
  $V_1 = S.h$ (lăng trụ); $V_2 = \frac{1}{3}S.h$ (chóp).

  $\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 3$.

Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng $AB = 3a, AD = 2a, AA'= 2a$. Tính $V_{A'.ACD'}$.

• Lời giải:

   

  Minh họa như hình vẽ sau:$V_{A'.ACD'} = V_{C.AA'D'} = \frac{1}{2}V_{C.AA'D'D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{hộp} = \frac{1}{6}(3a.2a.2a) = 2a^3$.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$, đáy là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$, góc giữa $(A'CA)$ và đáy là $60^\circ$. $M$ là trung điểm $BB'$. Tính $V_{M.A'B'C'}$.

• Lời giải:

   

  Minh họa lăng trụ như hình vẽ:$\widehat{A'CA} = 60^\circ \Rightarrow AA' = AC.\tan 60^\circ = a\sqrt{3}.\sqrt{3} = 3a$.

  $S_{A'B'C'} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}, MB' = \frac{3a}{2}$.

  $\Rightarrow V_{M.A'B'C'} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.