Cách viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng - Toán 12 chuyên đề

Vậy cách viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng như thế nào? công thức tính khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng ra sao? các em hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để nắm vững nhé.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay

I. Cách viết phương trình mặt cầu tâm I  tiếp xúc với mặt phẳng ABC

Để viết phương trình mặt cầu (S) có tâm (a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) ta thực hiện các bước sau:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R

Khi đó, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

II. Ví dụ viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng

* Ví dụ 1: Viết phương mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0

* Lời giải:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có:

Khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) là:

- Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 có phương trình là:

 x² + y² + z² = 9

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

* Lời giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R = d(I;(P)) = 8/3

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 0) bán kính R = 8/3 (tiếp xúc với mp(P)) là:

(x - 1)² + (y + 2)² + z² = 64/9

* Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

* Lời giải:

- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0

- Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:

Phương trình mặt cầu có tâm I(3; -1; -2) bán kính R = 2 (tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)) là:

(x - 3)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4