Cách viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (dễ hiểu nhất) - Toán 12 chuyên đề

Để giải quyết bài toán này, các em cần nắm vững mối quan hệ giữa bán kính và khoảng cách, đồng thời ghi nhớ chính xác công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước thực hiện.

I. Phương pháp viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Giả sử chúng ta cần viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D = 0$.

1. Điều kiện tiếp xúc

Một mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng đó đúng bằng bán kính của mặt cầu.

2. Các bước thực hiện

• Bước 1: Xác định tọa độ tâm $I(a; b; c)$. Nếu đề bài cho tâm là gốc tọa độ $O$ thì tọa độ là $(0; 0; 0)$.

• Bước 2: Tính bán kính $R$ bằng cách tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$:

  $$R = d(I, (P)) = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C \cdot c + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

• Bước 3: Viết phương trình mặt cầu theo cấu trúc:

  $$(S): (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ điển hình giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức vào bài tập thực tế.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm $O(0;0;0)$

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0; 0; 0)$ và tiếp xúc mặt phẳng $(P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0$.

Lời giải:

Do mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính $R$ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới mặt phẳng $(P)$:

Mặt cầu tâm $O(0; 0; 0)$ và bán kính $R = 3$ có phương trình là:

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 0)$

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(1; -2; 0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z - 5 = 0$.

Lời giải:

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên bán kính $R = \frac{8}{3}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

Ví dụ 3: Tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ đặc biệt

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(3; -1; -2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$.

Lời giải:

• Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ là: $z = 0$.

• Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là:

  $$R = d(I, (Oxy)) = \frac{|-2|}{\sqrt{1^2}} = 2$$

• Phương trình mặt cầu có tâm $I(3; -1; -2)$ và bán kính $R = 2$ là:

  $$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z + 2)^2 = 4$$

III. Những lưu ý quan trọng để không mất điểm

1. Nhầm lẫn bán kính và đường kính: Luôn nhớ công thức khoảng cách cho ra bán kính $R$, khi viết phương trình phải bình phương lên thành $R^2$.

2. Dấu trong trị tuyệt đối: Khi tính khoảng cách, tuyệt đối không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở tử số, vì khoảng cách luôn luôn là một số không âm.

3. Phương trình mặt phẳng đặc biệt:

   • Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$.

   • Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y = 0$.

   • Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$.