Bài 3 trang 11 Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 3 trang 11 Toán 12 Tập 2 CTST:

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $\mathbf{f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}}$ thỏa mãn $\mathbf{F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1}$.

Phân tích và Hướng dẫn:

Để giải quyết bài toán này, ta thực hiện theo hai bước chính:

1. Tìm nguyên hàm tổng quát: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác: $\mathbf{\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C}$.

2. Xác định hằng số $C$: Sử dụng điều kiện $F(\frac{\pi}{2})=1$ để lập một phương trình theo $C$. Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào biểu thức $F(x)$ vừa tìm được và giải phương trình để tìm giá trị cụ thể của $C$.

Lời giải Chi tiết Bài 3 Trang 11:

Có $\mathbf{F(x)=\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=−\cot x+C.}$

Vì $\mathbf{F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1}$ nên

Vậy nguyên hàm cần tìm là $\mathbf{F(x)=−\cot x+1.}$