Bài 6 trang 12 Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 6 trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 CTST:

Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao $2 \text{ m}$. Trong $10$ năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $\mathbf{h'(x)=\frac{1}{x} \text{ (m/năm)}}$.

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm ($1 \le x \le 11$).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao $3 \text{ m}$?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu tìm hàm số $h(x)$ khi biết tốc độ thay đổi của nó là $h'(x)$.

1. Mối liên hệ Nguyên hàm: Chiều cao $h(x)$ là nguyên hàm của tốc độ phát triển $h'(x)$: $\mathbf{h(x) = \int h'(x) dx}$.

2. Xác định $h(x)$: Thực hiện phép tính nguyên hàm $\mathbf{\int \frac{1}{x} dx}$.

3. Tìm hằng số $C$ (Câu a): Sử dụng điều kiện ban đầu: sau $1$ năm ($x=1$), cây cao $2 \text{ m}$ ($h(1)=2$). Thay giá trị này vào $h(x)$ để tìm $C$.

4. Giải phương trình (Câu b): Đặt $h(x)=3$ và giải phương trình tìm $x$.

Lời giải chi tiết bài 6 trang 12:

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm (1 ≤ x ≤ 11):

Chiều cao của cây sau $x$ năm là:

Vì $1 \le x \le 11$, ta có $x>0$ nên $\ln|x|=\ln x$:

$h(x)=\ln x+C \quad (1 \le x \le 11).$

Có $h(1) = 2$ nên:

$\ln 1 + C = 2$

Do đó, hàm chiều cao của cây là: 

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3m?

Cây cao 3m tức là $h(x)=3$. Ta giải phương trình:

Giá trị $e$ xấp xỉ $2,718...$.

Vậy sau khoảng $2,72$ năm thì cây cao $3 \text{ m}$.