Bài 4 trang 11 Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 4 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 CTST:

Tìm:

a) ${\int (2x^5+3)dx;}$

b) ${\int (5\cos x−3\sin x)dx;}$

c) ${\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}−\frac{2}{x}\right)dx;}$

d) ${\int (e^{x-2}−\frac{2}{\sin^2 x})dx}$

Phân tích và Hướng dẫn:

Các phép tính nguyên hàm này sử dụng Tính chất tuyến tính của nguyên hàm $\mathbf{\int [k \cdot f(x) \pm m \cdot g(x)] dx = k \cdot \int f(x) dx \pm m \cdot \int g(x) dx}$.

1. Biến đổi: Cần biến đổi các hàm số phức tạp về dạng hàm lũy thừa $x^\alpha$ hoặc $a \cdot f(x)$ trước khi áp dụng công thức.

   • Câu a, b: Áp dụng trực tiếp tính chất tuyến tính.

   • Câu c: Biến đổi $\frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{x} = 2 \cdot \frac{1}{x}$.

   • Câu d: Biến đổi $e^{x-2} = e^x \cdot e^{-2}$ (coi $\frac{1}{e^2}$ là hằng số) và $\frac{2}{\sin^2 x} = 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$.

2. Áp dụng công thức cơ bản: Sau khi biến đổi, áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

Lời giải Chi tiết Bài 4 Trang 11 Toán 12:

a) Áp dụng tính chất tuyến tính và công thức lũy thừa:

b) Áp dụng tính chất tuyến tính và công thức lượng giác:

c) Biến đổi về dạng lũy thừa và $1/x$:

$\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}−\frac{2}{x}\right)dx$ $=\frac{1}{2}\int x^{\frac{1}{2}}dx−2\int \frac{1}{x}dx$ $=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}−2\ln|x|+C$ $=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}−2\ln|x|+C$ $=\frac{1}{3}x\sqrt{x}−2\ln|x|+C.$

d) Biến đổi về dạng $e^x$ và $\frac{1}{\sin^2 x}$: