Bài 5 trang 12 Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo

Đề bài 5 trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 CTST:

Tìm:

a) ${\int x(2x-3)^2dx;}$

b) ${\int \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) dx;}$

c) ${\int \tan^2 x dx;}$

d) ${\int 2^{3x} \cdot 3^x dx}$

Phân tích và Hướng dẫn:

Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các phép biến đổi sau:

1. Khai triển (Câu a): Khai triển $(2x-3)^2$ rồi nhân với $x$ để đưa về dạng đa thức $\int (Ax^n + Bx^m + ...) dx$.

2. Hạ bậc (Câu b): Sử dụng công thức hạ bậc $\mathbf{\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}}$ (với $\alpha = \frac{x}{2}$) để đưa về tổng/hiệu các hàm cơ bản.

3. Công thức lượng giác cơ bản (Câu c): Sử dụng đẳng thức $\mathbf{1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}} \Rightarrow \mathbf{\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1}$ để đưa về hàm có nguyên hàm là $\tan x$.

4. Luật số mũ (Câu d): Sử dụng $\mathbf{a^{mn} = (a^m)^n}$ và $\mathbf{a^x b^x = (ab)^x}$ để đưa về dạng hàm số mũ cơ bản $\int a^x dx$.

Lời giải Chi tiết Bài 5 Trang 12 Toán 12:

a) Khai triển và tìm nguyên hàm đa thức:

b) Sử dụng công thức hạ bậc ($\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ với $\alpha=\frac{x}{2}$):

c) Sử dụng đẳng thức $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:

d) Áp dụng luật số mũ: