Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

18:58:2307/07/2022

Chào các em! Trong chương trình Hình học lớp 12, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz là một dạng toán quan trọng. Mặc dù các em đã làm quen với khái niệm này ở các lớp dưới, nhưng trong không gian tọa độ Oxyz,

Bài viết này sẽ giúp các em ôn lại công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂ trong không gian Oxyz. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các phương pháp và giải các bài tập vận dụng để ghi nhớ công thức một cách hiệu quả.

I. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂ trong không gian Oxyz

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz phụ thuộc vào vị trí tương đối của chúng. Có hai trường hợp chính cần xét:

1. Trường hợp hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Nếu hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau, khoảng cách giữa chúng có thể được tính bằng cách chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.

Cách tính:
1. Lấy một điểm $M_1$ bất kỳ thuộc đường thẳng $d_1$ .
2. Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ chính là khoảng cách từ điểm $M_1$ đến đường thẳng $d_2$ .
  
  $d(d_1,d_2)=d(M_1,d_2)$

2. Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau

Nếu hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau (không song song, không cắt nhau), khoảng cách giữa chúng được xác định bởi độ dài đoạn vuông góc chung.

Công thức:
- $d_1$ đi qua điểm $M_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}.$
- $d_2$ đi qua điểm $M_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}.$
- Khi đó, khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ được tính bằng công thức:
  
  $(d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}$
- Trong đó, $[\vec{u_1},\vec{u_2}]$ là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.

II. Ví dụ tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình lần lượt là: $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}$

Lời giải:
- $d_1$ đi qua $M_1(1;2;0)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}(2;1;-1).$
- $d_2$ đi qua $M_2(2;0;1)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}(1;-1;2).$
- Ta có: $[\vec{u_1},\vec{u_2}]=(1;-5;-3).$
- $\vec{M_1M_2}=(1;-2;1).$
- Vì $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne\vec{0}$ và $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}=1(1)-5(-2)-3(1)=8\ne 0$ , nên $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.
- Áp dụng công thức tính khoảng cách:
  
  $d(d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}=\frac{|8|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-3)^2}}=\frac{8}{\sqrt{35}}$

Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình lần lượt là: $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{3}$ và $d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{3}$

Lời giải:
- $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}(1;2;3)$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}(1;2;3).$
- Vì $\vec{u_1}=\vec{u_2}$ , nên $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.
- Lấy điểm $M_1(0;-1;1)$ trên $d_{1}$ và $M_2(1;0;2)$ trên d₂.
- Ta có $\vec{M_1M_2}=(1;1;1).$
- Ta tính tích có hướng:
  
  $[\vec{u_1},\vec{M_1M_2}]=(2(1)-3(1);3(1)-1(1);1(1)-2(1))=(-1;2;-1).$
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
  
  $d(d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{M_1M_2}]|}{|\vec{u_1}|}=\frac{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có phương trình lần lượt là: $\Delta_1:\begin{cases}x=t\\y=1\\z=1-t\end{cases}$ và $\Delta_2:\begin{cases}x=2\\y=s\\z=1+s\end{cases}$

Lời giải:
- $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}(1;0;-1)$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}(0;1;1).$
- Kiểm tra vị trí tương đối bằng cách giải hệ phương trình: $t=2;1=s;1-t=1+s.$
- Từ hai phương trình đầu, ta có $t = 2$ và $s = 1$ . Thay vào phương trình thứ ba: $1-2=1+1\Leftrightarrow-1=2$ (vô lý).
- Vậy, hai đường thẳng chéo nhau.
- Lấy $M_1(0;1;1)$ trên $Δ_{1}$ và $M_2(2;0;1)$ trên $Δ_{2}$ .
- $\vec{M_1M_2}=(2;-1;0).$ Tích có hướng $[\vec{u_1},\vec{u_2}]=(1;-1;1).$
- Áp dụng công thức khoảng cách cho đường thẳng chéo nhau:
  
  $d(\Delta_1,\Delta_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}=\frac{|1(2)-1(-1)+1(0)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

Ví dụ 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có phương trình lần lượt là: $\Delta_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$ và $\Delta_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{2}$

Lời giải:
- $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}(1;1;1)$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}(2;2;2).$
- Vì $\vec{u_2}=2\vec{u_1}$ , nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Lấy điểm $M_1(1;2;3)$ trên $Δ_{1}$ . Thay tọa độ $M_{1}$ vào phương trình $Δ_{2}$ : $\frac{1-2}{2}=\frac{2-3}{2}=\frac{3-4}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
- Vì điểm $M_{1}$ thuộc $Δ_{2}$ , nên hai đường thẳng trùng nhau.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng 0.

III. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $\small d_1:\: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}$ và $\small d_2:\: \left\{\begin{matrix} x=3+4t\\ t=2=4t\\ z=5-6t \end{matrix}\right.\:; t\in \mathbb{R}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $\small d_1:\left\{\begin{matrix} x=7+2t\\ y=-1+3t\\ z=-5t \end{matrix}\right.$ và $\small d_2:\: \left\{\begin{matrix} x=-2-s\\ y=2\\ z=3+s \end{matrix}\right.$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng d₁, d₂.
Bài tập 3:

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $\small \Delta _1:\: \left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=5-t\\ z=9+4t \end{matrix}\right.$ và $\small \Delta __2:\: \frac{x}{3}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+18}{4}$

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng Δ₁, Δ₂.
Bài tập 4:
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $\small \Delta _1:\: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t \end{matrix}\right.$ và $\small \Delta __2:\: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}$

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng Δ₁, Δ₂.
Bài tập 5: Cho hai đường thẳng $x+1=\frac{y-1}{2}=z$ và $x=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{3}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.

Qua bài viết này, hy vọng các em đã nắm vững công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Nắm vững phương pháp phân loại vị trí tương đối và áp dụng công thức tương ứng là chìa khóa để giải quyết thành công dạng toán này.