Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ giúp các em ôn lại công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂ trong không gian Oxyz. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các phương pháp và giải các bài tập vận dụng để ghi nhớ công thức một cách hiệu quả.

I. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂ trong không gian Oxyz

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Oxyz phụ thuộc vào vị trí tương đối của chúng. Có hai trường hợp chính cần xét:

1. Trường hợp hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Nếu hai đường thẳng d_1 và d_2 song song hoặc trùng nhau, khoảng cách giữa chúng có thể được tính bằng cách chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.

• Cách tính:

  1. Lấy một điểm M_1 bất kỳ thuộc đường thẳng d_1.

  2. Khoảng cách giữa d_1 và d_2 chính là khoảng cách từ điểm M_1 đến đường thẳng d_2.

     d(d_1,d_2)=d(M_1,d_2)

2. Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau

Nếu hai đường thẳng d_1 và d_2 chéo nhau (không song song, không cắt nhau), khoảng cách giữa chúng được xác định bởi độ dài đoạn vuông góc chung.

• Công thức:

  • d_1 đi qua điểm M_1 có vectơ chỉ phương \vec{u_1}.

  • d_2 đi qua điểm M_2 có vectơ chỉ phương \vec{u_2}.

  • Khi đó, khoảng cách giữa  và  được tính bằng công thức:

    (d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}

  • Trong đó,  là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.

II. Ví dụ tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁, d₂

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d_1 và d_2 có phương trình lần lượt là: d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1} và d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}

• Lời giải:

  • d_1 đi qua M_1(1;2;0) có vectơ chỉ phương \vec{u_1}(2;1;-1).

  • d_2 đi qua M_2(2;0;1) có vectơ chỉ phương \vec{u_2}(1;-1;2).

  • Ta có: [\vec{u_1},\vec{u_2}]=(1;-5;-3).

  • \vec{M_1M_2}=(1;-2;1).

  • Vì [\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne\vec{0} và [\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}=1(1)-5(-2)-3(1)=8\ne 0, nên d₁​ và d₂​ chéo nhau.

  • Áp dụng công thức tính khoảng cách:

    d(d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}=\frac{|8|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-3)^2}}=\frac{8}{\sqrt{35}}

Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  có phương trình lần lượt là: d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{3} và d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{3}

• Lời giải:

  • d_1 có vectơ chỉ phương \vec{u_1}(1;2;3) và d_2 có vectơ chỉ phương \vec{u_2}(1;2;3).

  • Vì , nên d_1​ và d₂​ song song hoặc trùng nhau.

  • Lấy điểm M_1(0;-1;1) trên d₁​ và M_2(1;0;2) trên d₂.

  • Ta có \vec{M_1M_2}=(1;1;1).

  • Ta tính tích có hướng:

    [\vec{u_1},\vec{M_1M_2}]=(2(1)-3(1);3(1)-1(1);1(1)-2(1))=(-1;2;-1).

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:

    d(d_1,d_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{M_1M_2}]|}{|\vec{u_1}|}=\frac{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{21}}{7}

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ_1​ và Δ₂​ có phương trình lần lượt là: \Delta_1:\begin{cases}x=t\\y=1\\z=1-t\end{cases} và \Delta_2:\begin{cases}x=2\\y=s\\z=1+s\end{cases}

• Lời giải:

  • Δ_1​ có vectơ chỉ phương \vec{u_1}(1;0;-1) và Δ₂​ có vectơ chỉ phương \vec{u_2}(0;1;1).

  • Kiểm tra vị trí tương đối bằng cách giải hệ phương trình: t=2;1=s;1-t=1+s.

  • Từ hai phương trình đầu, ta có $t=2$ và $s=1$. Thay vào phương trình thứ ba: 1-2=1+1\Leftrightarrow-1=2 (vô lý).

  • Vậy, hai đường thẳng chéo nhau.

  • Lấy M_1(0;1;1) trên Δ₁​ và M_2(2;0;1) trên Δ₂​.

  • \vec{M_1M_2}=(2;-1;0). Tích có hướng [\vec{u_1},\vec{u_2}]=(1;-1;1).

  • Áp dụng công thức khoảng cách cho đường thẳng chéo nhau:

    d(\Delta_1,\Delta_2)=\frac{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1},\vec{u_2}]|}=\frac{|1(2)-1(-1)+1(0)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}

Ví dụ 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ₁​ và Δ₂​ có phương trình lần lượt là: \Delta_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1} và \Delta_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{2}

• Lời giải:

  • Δ_1​ có vectơ chỉ phương \vec{u_1}(1;1;1) và Δ2​ có vectơ chỉ phương \vec{u_2}(2;2;2).

  • Vì , nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

  • Lấy điểm  trên Δ₁​. Thay tọa độ M₁​ vào phương trình Δ₂​: \frac{1-2}{2}=\frac{2-3}{2}=\frac{3-4}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}

  • Vì điểm M₁​ thuộc Δ₂​, nên hai đường thẳng trùng nhau.

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng 0.

III. Bài tập vận dụng

• Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là d_1:\: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3} và d_2:\: \left\{\begin{matrix} x=3+4t\\ t=2=4t\\ z=5-6t \end{matrix}\right.\:; t\in \mathbb{R}. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

• Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là d_1:\left\{\begin{matrix} x=7+2t\\ y=-1+3t\\ z=-5t \end{matrix}\right. và d_2:\: \left\{\begin{matrix} x=-2-s\\ y=2\\ z=3+s \end{matrix}\right. . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng d₁, d₂.

• Bài tập 3:

  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là  \Delta _1:\: \left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=5-t\\ z=9+4t \end{matrix}\right. và \Delta __2:\: \frac{x}{3}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+18}{4}

  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng Δ₁, Δ₂.

• Bài tập 4: 

  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là  \Delta _1:\: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t \end{matrix}\right. và \Delta __2:\: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}

  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thẳng Δ₁, Δ₂.

• Bài tập 5: Cho hai đường thẳng $d:\; x+1=\backslash frac\{y-1\}\{2\}=z$ và Δ: x=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{3}​. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.