Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu (xác định m để hàm số có cực trị) - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại phương pháp giải và minh họa bằng các ví dụ cụ thể để bạn dễ dàng áp dụng.

I. Phương pháp chung tìm cực trị của hàm số

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định $D$.

• Bước 2: Tính đạo hàm $y'$.

• Bước 3: Lựa chọn theo một trong 2 cách sau:

Cách 1: Xét dấu đạo hàm $y'$

Nếu xét được dấu của $y'$ thì:

• Hàm số có $k$ cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có $k$ nghiệm phân biệt và $y'$ đổi dấu qua các nghiệm đó.

Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai $y''$

Nếu không xét được dấu của $y'$ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại/cực tiểu, ta tính thêm $y''$. Khi đó:

• Hàm số có cực trị: $\Leftrightarrow$ Hệ $\begin{cases} y'=0 \\ y''\neq 0 \end{cases}$ có nghiệm thuộc $D$.

• Hàm số có cực tiểu: $\Leftrightarrow$ Hệ $\begin{cases} y'=0 \\ y'' > 0 \end{cases}$ có nghiệm thuộc $D$.

• Hàm số có cực đại: $\Leftrightarrow$ Hệ $\begin{cases} y'=0 \\ y'' < 0 \end{cases}$ có nghiệm thuộc $D$.

II. Bài tập và ví dụ minh họa

Bài tập 1: Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại và cực tiểu

Tìm $m$ để hàm số $y = (m - 1)x^3 - 3x^2 - (m + 1)x + 3m^2 - m + 2$ có cực đại và cực tiểu.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 3(m - 1)x^2 - 6x - (m + 1)$.

• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3(m - 1)x^2 - 6x - (m + 1) = 0$.

• Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình $y' = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt:

  $\begin{cases} 9 + 3(m-1)(m+1) > 0 \\ m-1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3m^2 + 6 > 0 \\ m \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq 1$.

• Kết luận: Với $m \neq 1$ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.

Bài tập 2: Tìm m để hàm số bậc 4 trùng phương có 3 điểm cực trị

Xác định $m$ để hàm số $y = mx^4 - (m + 1)x^2 + 2m - 1$ có 3 điểm cực trị.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 4mx^3 - 2(m + 1)x = 0$.

  $\Leftrightarrow x[4mx^2 - 2(m + 1)] = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ 2mx^2 = m + 1 \end{cases}$.

• Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $2mx^2 = m + 1$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0:

  $\Leftrightarrow m(m+1) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m < -1 \\ m > 0 \end{matrix} \right.$.

• Kết luận: Vậy hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi $m < -1$ hoặc $m > 0$.

Bài tập 3: Cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung

Xác định $m$ để hàm số $y = x^3 - 2(m + 1)x^2 + (m^2 - 3m + 2)x + 4$ có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 2(2m + 1)x + m^2 - 3m + 2$.

• Hàm số đạt cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ trái dấu:

  $\Leftrightarrow x_1 \cdot x_2 < 0 \Leftrightarrow \frac{m^2-3m+2}{3} < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2$.

• Kết luận: Với $1 < m < 2$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.

Bài tập 4: Điều kiện cực trị của hàm phân thức

Tìm $\alpha$ để hàm số $y = \frac{x^2 + (\sin\alpha)x + |\sin\alpha| - 1}{x + 1}$ có cực đại, cực tiểu thỏa mãn $y_{CĐ} + y_{CT} = -6$.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

• Đạo hàm: $y' = \frac{x^2 + 2x + \sin\alpha - |\sin\alpha| + 1}{(x+1)^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + \sin\alpha - |\sin\alpha| + 1 = 0$ (1).

• Điều kiện hàm số có cực đại và cực tiểu là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$:

  $\Delta' = 1 - (\sin\alpha - |\sin\alpha| + 1) = |\sin\alpha| - \sin\alpha > 0 \Leftrightarrow \sin\alpha < 0$ (2).

• Theo hệ thức Vi-et cho phương trình (1): $x_{CĐ} + x_{CT} = -2$.

• Yêu cầu bài toán: $y_{CĐ} + y_{CT} = -6 \Leftrightarrow 2(x_{CĐ} + x_{CT}) + 2\sin\alpha = -6$.

• $\Leftrightarrow 2(-2) + 2\sin\alpha = -6 \Leftrightarrow \sin\alpha = -1 \Leftrightarrow \alpha = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$.

• Giá trị này thỏa mãn điều kiện (2).

• Kết luận: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$.