Các dạng bài tập về Vectơ trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

10:35:2415/09/2022

Là một trong những kiến thức mở đầu, bài tập về vectơ trong không gian lớp 12 là một trong những dạng bài tập vận dụng các công thức cơ bản về toạ độ, các phép toán về vectơ.

Bài viết dưới đây, hayhochoi sẽ cùng các em giải một số dạng bài tập về Vectơ trong không gian để qua đó các em hiểu rõ và nắm vững hơn các khải niệm ở bản về toạ độ và vectơ trong không gian lớp 12.

I. Để giải các bạng bài tập về vectơ các em cần nhớ các kiên thức

Toạ độ các vectơ, toạ độ điểm, các phép toán về vectơ, toạ độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của hình tam giác, trọng tâm của tứ diện, góc giữa 2 vectơ.

II. Bài tập về vectơ trong không gian Oxyz

* Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{a}=(-1;3;5)$

$\small \overrightarrow{b}=(2m^3+m+56;m^2+2m;m^4+m^3-49)$

Tìm giá trị của m để $\small \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

* Lời giải:

Với $\small \overrightarrow{a}=(x;y;z);\: \: \overrightarrow{b}=(x';y';z');$

Ta có: $\small \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y'\\ z=z' \end{matrix}\right.$

Do đó, ta có hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} 2m^3+m+56=-1\: \: (1)\\ m^2+2m=3\: \: (2)\\ m^4+m^3-49=5\: \: (3) \end{matrix}\right.$

Giải pt (2) của hệ ta được nghiệm: m = 1 hoặc m = -3

Lần lượt thế 2 nghiệm này vào pt (1) và pt(3) ta thấy chỉ có m = -3 thoả

Vậy $\small \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow m=-3$

hayhochoivn

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho 2 vectơ: $\small \overrightarrow{u}=(3;-6;2)$

$\small \overrightarrow{v}=(m^2+m)\overrightarrow{i}+2m\overrightarrow{j}+(m^2+2m)\overrightarrow{k}$

Tìm m để $\small \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v},\: ( \overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0})$

* Lời giải:

Theo bài ra: $\small \overrightarrow{v}=(m^2+m)\overrightarrow{i}+2m\overrightarrow{j}+(m^2+2m)\overrightarrow{k}$

nên có: $\small \overrightarrow{v}=(m^2+m;2m;m^2+2m)$

Do đó: $\small \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0$

⇔ 3(m² + m) - 6(2m) + 2(m² + 2m) = 0

⇔ 5m² - 5m = 0

⇔ m = 0 hoặc m = 1

+ Với m = 0 thì ta có: $\small \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ (loại)

+ Với m = 1 thì ta có: $\small \small \overrightarrow{v}=(2;2;3)\neq \overrightarrow{0}$

Vậy với m = 1 thì $\small \small \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$

* Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho:

$\small \overrightarrow{a}=(m+5;2m;-m);\: \overrightarrow{b}=(3;6;-2)$

Tìm m để: $\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{b} \right |$

* Lời giải:

Ta có: $\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{(m+5)^2+4m^2+m^2}$ $\small =\sqrt{6m^2+10m+25}$

$\small \small \left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}$ $\small =\sqrt{9+36+4}=7$

Vậy $\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{b} \right |\Leftrightarrow \left | \overrightarrow{a} \right |^2=\left | \overrightarrow{b} \right |^2$

⇔ 6m² + 10m + 25 = 49

⇔ 6m² + 10m - 24 = 0

⇔ 3m² + 5m - 12 = 0

⇔ m = -3 hoặc m = 4/3

Vậy với m = 3 hoặc m = 4/3 thì $\small \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{b} \right |$

* Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, cho $\small \overrightarrow{v}=(2a-1;a^2;a+8)$

Xác định a để $\small \left | \overrightarrow{v} \right |$ nhỏ nhân và tìm min $\small \left | \overrightarrow{v} \right |$ .

* Lời giải:

- Ta có: $\small \left | \overrightarrow{v} \right |=\sqrt{(2a-1)^2+a^2+(a+8)^2}$

$\small =\sqrt{6(a+1)^2+59}$

Vì 6(a + 1)² ≥ 0 ⇒ 6(a + 1)² +59 ≥ 59

$\small \Rightarrow \sqrt{6(a+1)^2+59}\geq \sqrt{59}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a + 1 = 0 ⇔ a = -1.

Vậy $\small min|\overrightarrow{v}|=\sqrt{59}$ khi a = -1.

* Bài tập 5: Trong không gian Oxyz cho:

$\small \overrightarrow{u}=(1;1;-4);\: \overrightarrow{v}=(2;-1;m)$

Tìm m để góc giữa hai vectơ u và vectơ v có số đo bằng 45⁰.

* Lời giải:

- Ta có: $\small cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\small =\frac{1.2+1.(-1)+(-4).m}{\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}.\sqrt{2^2+(-1)^2+m^2}}$

$\small =\frac{1-4m}{3\sqrt{2}.\sqrt{m^2+5}}$

Mặt khác: $\small cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nên ta có: $\small \frac{1-4m}{3\sqrt{2}.\sqrt{m^2+5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small \Leftrightarrow 2-8m=6.\sqrt{m^2+5}$

$\small \Leftrightarrow 1-4m=3.\sqrt{m^2+5}$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-4m>0\\ (1-4m)^2=9(m^2+5) \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1/4\\ 7m^2-8m-44=0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1/4\\ \left \[\begin{matrix} m=-2\\ m=22/7 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-2$

Vậy với m = -2 thì góc giữa 2 vectơ u và vectơ v có số đo bằng 45⁰.

* Bài tập 6: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(0;2;-2); B(-3;1;-1); C(4;3;0); D(2;1-2). Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện.

* Lời giải:

- Ta có: $\small \overrightarrow{AB}=(-3;-1;1);$

$\small \overrightarrow{AC}=(4;1;2);$ $\small \overrightarrow{AD}=(2;-1;0);$

Để chứng minh ABCD là tứ diện, ta chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng, tức là chứng minh 3 vectơ $\small \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD};$ không đồng phẳng.

Giải sử $\small \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng, khi đó tồn tại 2 số m, n sao cho:

$\small m \overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3m+4n=2\\ -m+n=-1\\ m+2n=0 \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình này vô nghiệm, Vậy $\small \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng nên ABCD là một tứ diện.

Gọi G là trọng tâm của tứ diện, ta có:

$\small x_G=\frac{1}{4}(x_A+x_b+x_C+x_D)\Rightarrow x_G=\frac{3}{4}$

$\small y_G=\frac{1}{4}(y_A+y_b+y_C+y_D)\Rightarrow y_G=\frac{7}{4}$

$\small z_G=\frac{1}{4}(z_A+z_b+z_C+z_D)\Rightarrow z_G=\frac{-5}{4}$

Vậy $\small G=\left ( \frac{3}{4};\frac{7}{4};\frac{-5}{4} \right )$

* Bài tập 7: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;0;-5); B(4;2;-9); C(-1;5;-4). Tìm tạo độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

* Bài tập 8: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(-2;0;-3); B(-4;1;-1); C(-4;4;1); AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, D ∈ BC. Tìm toạ độ điểm D.

* Bài tập 9: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(13;-3;0); B(1;-3;0); C(1;-6;0); Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hy vọng với bài viết Các dạng bài tập về Vectơ trong không gian Oxyz lớp 12 ở trên đã giúp các em hiểu và nắm vững phần kiến thức này. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Các dạng bài tập về Vectơ trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét