Các dạng bài tập về Vectơ trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại các kiến thức trọng tâm và hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập Vectơ trong không gian $Oxyz$ thường gặp.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài tập Vectơ

Để xử lý tốt các dạng bài tập, các em cần nắm vững các công thức sau:

• Tọa độ vectơ và tọa độ điểm: Cách xác định tọa độ một vectơ khi biết điểm đầu và điểm cuối.

• Các phép toán vectơ: Cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số, và tích vô hướng của hai vectơ.

• Các công thức đặc biệt: Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện.

• Độ dài và góc: Công thức tính độ dài vectơ và cosin góc giữa hai vectơ.

II. Bài tập về Vectơ trong không gian Oxyz có lời giải

Dạng 1: Tìm tham số để hai vectơ bằng nhau

Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (-1; 3; 5)$ và $\vec{b} = (2m^3 + m + 56; m^2 + 2m; m^4 + m^3 - 49)$. Tìm $m$ để $\vec{a} = \vec{b}$.

Lời giải:

• Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x = x' \\ y = y' \\ z = z' \end{cases}$.

• Ta có hệ phương trình:

  1. $2m^3 + m + 56 = -1$

  2. $m^2 + 2m = 3 \Rightarrow m = 1$ hoặc $m = -3$

  3. $m^4 + m^3 - 49 = 5$

• Thế các nghiệm của phương trình (2) vào (1) và (3), ta thấy chỉ có $m = -3$ thỏa mãn.

Dạng 2: Hai vectơ vuông góc

Bài tập 2: Tìm $m$ để $\vec{u} = (3; -6; 2)$ vuông góc với $\vec{v} = (m^2+m)\vec{i} + 2m\vec{j} + (m^2+2m)\vec{k}$ (với $\vec{v} \neq \vec{0}$).

Lời giải:

• Tọa độ $\vec{v} = (m^2+m; 2m; m^2+2m)$.

• $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow 3(m^2+m) - 6(2m) + 2(m^2+2m) = 0$.

• $\Leftrightarrow 5m^2 - 5m = 0 \Rightarrow m = 0$ hoặc $m = 1$.

• Với $m = 0$ thì $\vec{v} = \vec{0}$ (loại). Với $m = 1$ thì $\vec{v} = (2; 2; 3) \neq \vec{0}$ (thỏa mãn).

• Kết luận: $m = 1$.

Dạng 3: Độ dài vectơ và bài toán cực trị

Bài tập 3: Tìm $m$ để $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ biết $\vec{a} = (m+5; 2m; -m)$ và $\vec{b} = (3; 6; -2)$.

Lời giải:

• $|\vec{a}| = \sqrt{(m+5)^2 + 4m^2 + m^2} = \sqrt{6m^2 + 10m + 25}$.

• $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = 7$.

• $|\vec{a}| = |\vec{b}| \Leftrightarrow 6m^2 + 10m + 25 = 49 \Leftrightarrow 3m^2 + 5m - 12 = 0$.

• Kết quả: $m = -3$ hoặc $m = \frac{4}{3}$.

Bài tập 4: Xác định $a$ để độ dài vectơ $\vec{v} = (2a-1; a^2; a+8)$ nhỏ nhất.

Lời giải:

• $|\vec{v}| = \sqrt{(2a-1)^2 + (a^2)^2 + (a+8)^2}$= $\sqrt{6(a+1)^2 + 59}$.

• Dấu "=" xảy ra khi $a+1 = 0 \Leftrightarrow a = -1$. Khi đó $\min|\vec{v}| = \sqrt{59}$.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Bài tập 5: Tìm $m$ để góc giữa $\vec{u} = (1; 1; -4)$ và $\vec{v} = (2; -1; m)$ bằng $45^\circ$.

Lời giải:

• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{1-4m}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2+5}}$.

• Theo bài ra: $\frac{1-4m}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2+5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 1-4m = 3\sqrt{m^2+5}$.

• Điều kiện: $1-4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$. Bình phương hai vế ta được $m = -2$ hoặc $m = \frac{22}{7}$.

• Kết luận: $m = -2$ (thỏa mãn điều kiện).

III. Hình học tọa độ: Tứ diện và Tâm đường tròn

Bài tập 6: Chứng minh $A(0; 2; -2)$, $B(-3; 1; -1)$, $C(4; 3; 0)$, $D(2; 1; -2)$ là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm tọa độ trọng tâm $G$.

Lời giải:

• Tính $\vec{AB} = (-3; -1; 1)$, $\vec{AC} = (4; 1; 2)$, $\vec{AD} = (2; -1; 0)$.

• Chứng minh không đồng phẳng bằng cách xét phương trình $m\vec{AB} + n\vec{AC} = \vec{AD}$. Hệ vô nghiệm nên $A, B, C, D$ không đồng phẳng, tạo thành tứ diện.

• Tọa độ trọng tâm $G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}; \frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}; \frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}\right)$.

• Kết quả: $G\left(\frac{3}{4}; \frac{7}{4}; \frac{-5}{4}\right)$.

Các bài tập tự luyện bổ sung:

• Bài tập 7: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ với $A(2; 0; -5), B(4; 2; -9), C(-1; 5; -4)$.

• Bài tập 8: Tìm tọa độ điểm $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của $\triangle ABC$.

• Bài tập 9: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.