Tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối, xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp xác định số điểm cực trị cho hai dạng hàm số trị tuyệt đối phổ biến nhất.

I. Phương pháp xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối

Dạng 1: Hàm số dạng $y = |f(x)|$

Đối với hàm số này, ta có đạo hàm được xác định bởi công thức: $y' = \frac{f'(x) \cdot f(x)}{|f(x)|}$.

Số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$ chính là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'(x) \cdot f(x) = 0$.

Công thức nhanh:

Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số gốc $y = f(x)$ và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với trục hoành $Ox$ (không tính các nghiệm bội chẵn/nghiệm kép), thì số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$ là:

Số cực trị = m + n.

Dạng 2: Hàm số dạng $y = f(|x|)$

Đạo hàm của hàm số này là: $y' = \frac{x}{|x|} \cdot f'(|x|)$. Từ biểu thức đạo hàm, ta có các nhận xét quan trọng:

• Hàm số luôn đạt cực trị tại điểm $x = 0$.

• Nếu gọi m là số điểm cực trị có hoành độ dương (cực trị dương) của hàm số gốc $y = f(x)$, thì số điểm cực trị của hàm số $y = f(|x|)$ là:

Số cực trị = 2m + 1.

II. Bài tập minh họa chi tiết

Bài tập 1: Xác định số điểm cực trị từ bảng biến thiên (Dạng 1)

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = |f(x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải:

• Tìm n: Dựa vào bảng biến thiên, nhánh đồ thị đi từ $-\infty$ đến cực đại là $5$ sẽ cắt trục hoành $Ox$ ($y=0$) tại $1$ điểm. Do đó phương trình $f(x) = 0$ có $1$ nghiệm đơn lẻ, suy ra $n = 1$.

• Tìm m: Hàm số gốc $y = f(x)$ có $2$ điểm cực trị (tại $x = -1$ và $x = 3$), nên $m = 2$.

• Kết luận: Số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$ là $m + n = 2 + 1 = 3$.

Bài tập 2: Trường hợp nghiệm bội chẵn (Dạng 1)

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số $y = |f(x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải:

• Tìm n: Đồ thị $y = f(x)$ tiếp xúc với trục $Ox$ tại điểm cực tiểu có $y = 0$ (tại $x = -3$). Đây là nghiệm bội chẵn nên không làm phát sinh thêm cực trị mới khi lấy trị tuyệt đối. Nhánh đồ thị cắt $Ox$ tại các vị trí khác cho $n = 2$ giao điểm thực tế làm đổi dấu hàm số.

• Tìm m: Hàm số $y = f(x)$ có $3$ điểm cực trị sẵn có, nên $m = 3$.

• Kết luận: Tổng số điểm cực trị là $3 + 2 = 5$.

Bài tập 3: Hàm số chứa trị tuyệt đối của biến (Dạng 2)

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Xác định số điểm cực trị của hàm số $y = f(|x|)$.

Lời giải:

• Dựa vào bảng biến thiên, ta tìm số điểm cực trị có hoành độ $x > 0$.

• Hàm số $y = f(x)$ có các điểm cực trị tại $x = -2$, $x = 2$ và $x = 5$. Trong đó, có $2$ điểm cực trị dương là $x = 2$ và $x = 5$. Vậy $m = 2$.

• Kết luận: Số điểm cực trị của hàm số $y = f(|x|)$ là $2m + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.

Bài tập 4: Biến tấu của hàm $y = f(|x|)$

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(|x| + 1)$.

Lời giải:

Ta xét đạo hàm $y' = (|x|+1)' \cdot f'(|x|+1) = \frac{x}{|x|} \cdot f'(|x|+1)$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $f'(|x|+1) = 0$.

Từ bảng biến thiên, $f'(x) = 0$ tại $x = -1, x = 0, x = 2$.

• $|x| + 1 = -1$ (Vô nghiệm).

• $|x| + 1 = 0$ (Vô nghiệm).

• $|x| + 1 = 2 \Leftrightarrow |x| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

  Vậy phương trình đạo hàm có $3$ nghiệm phân biệt là $x = 0, x = 1, x = -1$, tương ứng với $3$ điểm cực trị.

Bài tập 5: Hàm số cụ thể $y = |(x - 1)(x - 2)^2|$

Xác định số điểm cực trị của hàm số trên.

Lời giải:

• Đặt $f(x) = (x - 1)(x - 2)^2$.

• Đạo hàm $f'(x) = 3x^2 - 10x + 8$. Nghiệm của $f'(x) = 0$ là $x = 2$ và $x = 4/3$. Vậy $m = 2$.

• Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm đơn $x = 1$ và nghiệm kép $x = 2$. Chỉ nghiệm đơn $x = 1$ làm phát sinh thêm cực trị mới, nên $n = 1$.

• Kết luận: Tổng số cực trị là $2 + 1 = 3$.