Cách tìm tập xác định hàm số Logarit và Bài tập vận dụng - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em phương pháp tìm tập xác định của hàm số logarit và cung cấp các bài tập vận dụng có lời giải giúp các em nắm vững kiến thức.

I. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số logarit

Để tìm tập xác định của các dạng hàm số liên quan đến logarit, các em cần ghi nhớ các điều kiện cơ bản sau:

• Hàm số $y = \log_a f(x)$ xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ f(x) > 0 \end{cases}$.

• Hàm số $y = \log_{g(x)} f(x)$ xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} 0 < g(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \end{cases}$.

• Hàm số $y = [f(x)]^{g(x)}$ xác định khi: $f(x) > 0$.

II. Bài tập vận dụng tìm tập xác định (Có lời giải)

Dưới đây là các bài tập minh họa giúp các em thực hành các công thức đã học:

Bài tập 1: Tập xác định chứa biểu thức phân thức

Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log \frac{x-2}{x+3}$.

Lời giải:

Hàm số xác định khi biểu thức dưới dấu logarit dương:

$\frac{x-2}{x+3} > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x < -3 \\ x > 2 \end{cases}$.

Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Bài tập 2: Tập xác định với biểu thức chứa căn thức

Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_5 \frac{2x+3}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}}$.

Lời giải:

Hàm số xác định khi:

$\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1}} > 0$.

Vì biểu thức $x^2 \pm x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên mẫu số $\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2-x+1} > 0$ với mọi $x$.

Do đó, điều kiện tương đương với: $2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > -3/2$.

Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = (-3/2; +\infty)$.

Bài tập 3: Tập xác định chứa hàm số mũ

Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3(5^{x+2} - 125)$.

Lời giải:

Hàm số xác định khi:

$5^{x+2} - 125 > 0 \Leftrightarrow 5^{x+2} > 5^3 \Leftrightarrow x + 2 > 3 \Leftrightarrow x > 1$.

Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = (1; +\infty)$.

Bài tập 4: Tập xác định của hàm số hỗn hợp

Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{2^x - 2} - \log(x-2)^2$.

Lời giải:

Để hàm số xác định, ta cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

• Biểu thức dưới căn bậc hai không âm: $2^x - 2 \geq 0$.

• Biểu thức dưới dấu logarit dương: $(x - 2)^2 > 0$.

Hệ điều kiện tương đương:

$\begin{cases} 2^x \geq 2^1 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \neq 2 \end{cases}$.

Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = [1; +\infty) \setminus \{2\}$.