Cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB - Toán 12 chuyên đề

Dạng toán viết phương trình mặt cầu đường kính AB được đánh giá là khá đơn giản và dễ hiểu. Chỉ cần nắm vững công thức tọa độ trung điểm và công thức tính độ dài đoạn thẳng, các em có thể dễ dàng đạt điểm tối đa ở câu hỏi này.

I. Phương pháp viết phương trình mặt cầu đường kính AB

Để viết phương trình mặt cầu $(S)$ khi biết đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$, chúng ta thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Xác định tâm $I$ của mặt cầu.

  Tâm $I$ của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tọa độ điểm $I$ được tính theo công thức:

  $$I \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right)$$

• Bước 2: Xác định bán kính $R$ của mặt cầu.

  Bán kính mặt cầu bằng một nửa độ dài đoạn thẳng $AB$.

  $$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}{2}$$

  (Hoặc tính $R = IA = IB$).

• Bước 3: Lập phương trình mặt cầu.

  Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$ có phương trình:

  $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ với $A(1; 3; 1)$ và $B(-2; 0; 1)$.

Lời giải:

• Tìm tâm $I$: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, tọa độ điểm $I$ là:

  $$I \left( \frac{1 + (-2)}{2}; \frac{3 + 0}{2}; \frac{1 + 1}{2} \right) \Rightarrow I \left( -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1 \right)$$

• Tìm bán kính $R$: Ta có $\overrightarrow{AB} = (-3; -3; 0) \Rightarrow AB = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = 3\sqrt{2}$.

  $$R = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

• Phương trình mặt cầu $(S)$:

  $$\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 + (z - 1)^2 = \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2$$
  $$\Leftrightarrow \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 + (z - 1)^2 = \frac{9}{2}$$

Ví dụ 2

Cho 2 điểm $A(2; 4; 1), B(-2; 2; -3)$. Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$.

Lời giải:

• Tìm tâm $I$: Tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ là:

  $x_I = \frac{2 + (-2)}{2} = 0; \quad y_I = \frac{4 + 2}{2} = 3; \quad z_I = \frac{1 + (-3)}{2} = -1 \Rightarrow I(0; 3; -1)$

• Tìm bán kính $R$: Ta có $\overrightarrow{AB} = (-4; -2; -4) \Rightarrow AB = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = 6$.

  $$R = \frac{AB}{2} = 3$$

• Phương trình mặt cầu $(S)$:

  $$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 3^2$$
  $$\Leftrightarrow x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9$$

III. Bài tập tự luyện

Để nắm vững dạng toán này, các em hãy thực hiện các bài tập sau:

• Bài tập 1: Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(4; -3; 7), B(2; 1; -3)$.

  Đ/số: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 30$

• Bài tập 2: Cho hai điểm $A(1; 0; 3)$ và $B(3; 2; 1)$. Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$.

  Đ/số: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 3$

• Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính là $AB$ biết rằng $A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)$.

  Đ/số: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 62$

• Bài tập 4: Cho hai điểm $A(-2; 1; 0), B(2; -1; 2)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính là $AB$.

  Đ/số: $x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 6$