Hotline 0939 629 809

Cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB - Toán 12 chuyên đề

14:04:3328/06/2022

Không phổ biến như phương trình đường thẳng hay phương trình mặt phẳng nhưng phương trình mặt cầu cũng thỉnh thoảng xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy việc biết và viết phương trình mặt cầu là điều cần thiết.

Là một trong các dạng toán viết phương trình mặt cầu, viết phương trình mặt cầu đường kính AB là một dạng toán dễ hiểu và giúp các em dễ đạt điểm tối đa nếu gặp bài này trong các đề thi hay kiểm tra.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay

I. Cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB

Để viết phương trình mặt cầu đường kính AB ta thực hiện các bước sau:

¤ Bước 1: Xác định tâm O(a; b; c) của mặt cầu S.

¤ Bước 2: Xác định bán kính R của mặt cầu (S): R = AB/2

¤ Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

II. Ví dụ viết phương trình mặt cầu đường kính AB

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1).

* Lời giải:

Theo bài ra, vì mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)

- Ta có: small overrightarrow{AB}=(-3;-3;0)Rightarrow AB=3sqrt{2}

- Gọi O là trung điểm của AB ⇒ tọa độ của O là: $small Oleft ( -frac{1}{2};frac{3}{2};1 ight )$

- Mặt cầu tâm $small Oleft ( -frac{1}{2};frac{3}{2};1 ight )$ và bán kính $small R=frac{AB}{2}=frac{3sqrt{2}}{2}$ có phương trình:

$small left ( x+frac{1}{2} ight )^{2}+left ( y-frac{3}{2} ight )^{2}+(z-1)^{2}=frac{9}{2}$

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:

$small left ( x+frac{1}{2} ight )^{2}+left ( y-frac{3}{2} ight )^{2}+(z-1)^{2}=frac{9}{2}$

* Ví dụ 2: Cho 2 điểm A(2;4;1), B(-2;2;3) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

* Lời giải:

Theo bài ra, vì mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2; 4; 1) và B(-2; 2; 3)

Ta có: $\small \overrightarrow{AB}=(-4;-2;-4)$

Độ dài đoạn AB là:

$\small AB=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6$

Suy ra bán kính mặt cầu: $\small R=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3$

- Gọi O là trung điểm của AB ⇒ tọa độ của O là:

$\small x_O=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2-2}{2}=0$

$\small y_O=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+2}{2}=3$

$\dpi{100} \small z_O=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{1-3}{2}=-1$

Vậy O(0; 3; -1)

⇒ Mặt cầu tâm O(0; 3; -1) và bán kính R =3 có phương trình:

x² + (y - 3)² + (z + 1)² = 9

III. Bài tập Viết phương trình mặt cầu đường kính AB

* Bài tập 1: Phương trình mặt cầu đường kính AB với A(4;-3;7), B(2;1;-3)

Đ/số: (x - 3)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 30

* Bài tập 2: Cho hai điểm A(1;0;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Đ/số: (x - 2)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 3

* Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7).

Đ/số: (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 62

* Bài tập 4: Cho hai điểm A(-2;1;0), B(2;-1;2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

Đ/số: x² + y² + (z - 1)² = 6

Hy vọng với bài viết Cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Cách viết phương trình mặt cầu đường kính AB - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét