Bài 6.15 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.15 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.

Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là

A. 1/3

B. 1/4

C. 2/5

D. 3/7

Phân tích bài toán

Đây là bài toán tính xác suất của biến cố giao trong mô hình lấy mẫu không hoàn lại.

• Lần 1: Lấy 1 kẹo từ tổng số 10 chiếc.

• Lần 2: Vì kẹo lần 1 đã cho Bình (không trả lại túi), tổng số kẹo còn lại chỉ còn 9 chiếc.

• Công cụ giải: Công thức nhân xác suất $P(EF) = P(E) \cdot P(F|E)$.

Giải bài 6.15 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi các biến cố như sau:

• $E$: “Chiếc kẹo lấy ra lần thứ nhất là sô cô la đen”.

• $F$: “Chiếc kẹo lấy ra lần thứ hai là sô cô la đen”.

• $EF$: “Cả hai chiếc kẹo Bình nhận được đều là sô cô la đen”.

Bước 1: Tính xác suất lấy kẹo đen lần thứ nhất ($P(E)$)

Tổng số kẹo trong túi ban đầu là: $6 + 4 = 10$ (chiếc).

Xác suất để lấy được kẹo đen ở lần thứ nhất là:

Bước 2: Tính xác suất lấy kẹo đen lần thứ hai ($P(F|E)$)

Sau khi lấy 1 chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, trong túi còn lại:

• Tổng số kẹo: $10 - 1 = 9$ (chiếc).

• Số kẹo sô cô la đen còn lại: $6 - 1 = 5$ (chiếc).

  Xác suất để lấy tiếp được kẹo đen ở lần thứ hai khi biết lần một đã lấy kẹo đen là:

  $$P(F|E) = \frac{5}{9} \text{}$$

Bước 3: Tính xác suất cả hai lần đều lấy được kẹo đen ($P(EF)$)

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

Vậy ta chọn phương án A.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$.

• Đặc điểm lấy mẫu không hoàn lại: Luôn phải giảm 1 đơn vị ở cả tử số (số phần tử thuận lợi) và mẫu số (tổng số phần tử) cho lần lấy tiếp theo nếu lần trước đó đã xảy ra biến cố mong muốn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên trừ số lượng ở mẫu số: Học sinh thường giữ nguyên mẫu số là 10 cho cả hai lần lấy ($6/10 \times 5/10$), dẫn đến kết quả sai. Hãy nhớ "không hoàn lại" nghĩa là không gian mẫu đã bị thay đổi.

• Sử dụng tổ hợp sai cách: Nếu dùng tổ hợp, phải dùng $C_6^2 / C_{10}^2$, nhiều bạn nhầm sang các công thức chỉnh hợp hoặc đếm sai số lượng kẹo trắng/đen.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm lấy 2 vật cùng loại không hoàn lại, các em có thể bấm máy tính cực nhanh theo quy tắc "giảm dần":

Xác suất $= \frac{\text{Số vật loại đó}}{\text{Tổng số vật}} \times \frac{\text{Số vật loại đó} - 1}{\text{Tổng số vật} - 1}$

Áp dụng: $(6/10) \times (5/9) = 1/3$. Chỉ mất 5 giây để ra đáp án chính xác!