Bài 6.11 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.

a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.

b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.

c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?

Phân tích bài toán

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính xác suất "ngược": Biết kết quả (bị chặn hoặc không) và đi tìm khả năng của nguyên nhân (thư rác hay thư đúng).

• Công cụ giải: Công thức Bayes.

• Hệ đầy đủ: Thư rác ($A$) và Thư đúng ($\overline{A}$).

Giải bài 6.11 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “Thư được chọn là thư đúng”.

Gọi $B$ là biến cố: “Thư được chọn bị bộ lọc chặn lại”.

Dữ kiện đề bài cho:

• $P(A) = 3\% = 0,03 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,03 = 0,97$.

• $P(B | A) = 0,95$ (Thư rác bị chặn).

• $P(B | \overline{A}) = 0,01$ (Thư đúng bị chặn nhầm).

a) Xác suất một thư bị chặn là thư rác ($P(A | B)$)

Áp dụng công thức Bayes:

Thay số:

Kết luận: Xác suất thư bị chặn là thư rác khoảng 0,746.

b) Xác suất một thư không bị chặn là thư đúng ($P(\overline{A} | \overline{B})$)

Để tính xác suất này, ta cần các xác suất của biến cố đối:

• $P(\overline{B} | \overline{A}) = 1 - P(B | \overline{A}) = 1 - 0,01 = 0,99$ (Thư đúng thoát bộ lọc).

• $P(\overline{B} | A) = 1 - P(B | A) = 1 - 0,95 = 0,05$ (Thư rác lọt lưới).

Áp dụng công thức Bayes:

Thay số:

Kết luận: Xác suất một thư không bị chặn là thư đúng khoảng 0,998.

c) Tính tỉ lệ phần trăm thư bị nhầm lẫn

• Trong số thư bị chặn: * Tỉ lệ thư rác là $P(A|B) \approx 74,6\%$.

  • Tỉ lệ thư đúng bị chặn nhầm là: $100\% - 74,6\% = \mathbf{25,4\%}$.

• Trong số thư không bị chặn:

  • Tỉ lệ thư đúng là $P(\overline{A}|\overline{B}) \approx 99,8\%$.

  • Tỉ lệ thư rác lọt lưới là: $100\% - 99,8\% = \mathbf{0,2\%}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức Bayes: Giúp tính xác suất hậu nghiệm dựa trên các thông tin đã biết.

• Ý nghĩa thực tế: Qua bài toán, ta thấy dù xác suất chặn nhầm thư đúng rất thấp ($1\%$), nhưng vì lượng thư đúng quá lớn ($97\%$), nên trong thùng rác vẫn có tới 25,4% là thư quan trọng bị chặn nhầm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa các điều kiện: Phải phân biệt rõ $P(B|A)$ (dữ liệu máy) và $P(A|B)$ (kết quả người dùng thấy).

• Lỗi làm tròn: Với các tỉ lệ nhỏ như $3\%$, việc làm tròn quá sớm sẽ dẫn đến sai số lớn ở kết quả cuối cùng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán Bayes, hãy luôn vẽ Sơ đồ hình cây.

1. Nhánh đầu tiên chia thành Thư rác/Thư đúng.

2. Nhánh tiếp theo chia thành Chặn/Không chặn.

3. Muốn tính $P(A|B)$, lấy tích của "đường rác - chặn" chia cho tổng tất cả các tích dẫn đến "chặn".

   Cách này giúp các em làm bài cực nhanh mà không cần nhớ công thức dài dòng!