Bài 6.7 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất bắn hạ máy bay đối phương

Bài 6.7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.

Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa.

Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán yêu cầu tính xác suất của một biến cố dựa trên các kịch bản khác nhau (máy bay ở $X$ hoặc ở $Y$).

• Biến cố đầy đủ: Máy bay chỉ có thể ở $X$ hoặc $Y$.

• Xác suất thành phần: Cần tính khả năng máy bay rơi trong từng trường hợp cụ thể dựa trên số lượng tên lửa bắn lên.

• Công cụ giải: Công thức xác suất toàn phần.

Giải bài 6.7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí $X$”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí $Y$”.

Theo bài ra ta có:

• $P(A) = 0,55$

• $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45$

Gọi $B$ là biến cố: “Máy bay bị bắn hạ”. Chúng ta cần tính $P(B)$ bằng công thức xác suất toàn phần.

Bước 1: Tính xác suất máy bay bị hạ khi ở vị trí $X$ ($P(B|A)$)

Khi máy bay ở $X$, có 2 quả tên lửa bắn lên. Máy bay bị hạ nếu trúng ít nhất 1 quả.

Ta tính qua biến cố đối $P(\overline{B}|A)$: “Máy bay không bị hạ khi bắn 2 quả tên lửa”.

Điều này xảy ra khi cả 2 quả tên lửa đều trượt. Vì các tên lửa hoạt động độc lập:

Bước 2: Tính xác suất máy bay bị hạ khi ở vị trí $Y$ ($P(B|\overline{A})$)

Khi máy bay ở $Y$, chỉ có 1 quả tên lửa bắn lên. Máy bay bị hạ khi quả tên lửa này trúng đích.

Theo đề bài, xác suất bắn trúng của 1 quả là 0,8. Vậy:

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Xác suất để máy bay bị bắn hạ là:

Thay các giá trị vào biểu thức:

Kết luận: Vậy xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên là 0,888 (hay 88,8%).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần: $P(B) = \sum P(A_i) \cdot P(B|A_i)$.

• Xác suất "Ít nhất 1": Luôn ưu tiên dùng biến cố đối (1 trừ đi xác suất tất cả cùng thất bại) để tính nhanh hơn.

• Tính độc lập: Nếu các biến cố độc lập, xác suất của tích bằng tích các xác suất.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tính biến cố đối ở trường hợp 2 tên lửa: Nhiều bạn lấy luôn $0,8 \times 2$ (sai hoàn toàn) hoặc chỉ lấy $0,8$ cho trường hợp $X$. Nhớ rằng: thêm đạn là thêm cơ hội, xác suất phải tăng lên.

• Nhầm lẫn giữa các vị trí: Cần xác định đúng số lượng tên lửa tương ứng với từng vị trí $X$ và $Y$ theo đúng phương án tác chiến.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán xác suất toàn phần có 2 kịch bản, các em có thể bấm máy tính một dòng duy nhất:

$P = (\% \text{Trường hợp 1}) \times (\text{Khả năng thắng 1}) + (\% \text{Trường hợp 2}) \times (\text{Khả năng thắng 2})$

Với bài này: $0,55 \times (1 - 0,2^2) + 0,45 \times 0,8 = 0,888$.