Bài 5.18 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Quỹ đạo chuyển động của viên đạn

Bài 5.18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow{v}=(2;1;6)$ Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm M(7;7/2;21) 

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Lập phương trình quỹ đạo: Quỹ đạo của viên đạn là một đường thẳng đi qua điểm bắt đầu $A$ và có vectơ chỉ phương chính là vectơ vận tốc $\vec{v}$.

2. Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng: Thay tọa độ các điểm $M, N$ vào phương trình.

3. Điều kiện thực tế: Vì viên đạn chỉ bay với vận tốc không đổi trong 3 giây đầu, nên mục tiêu chỉ bị bắn trúng nếu điểm đó nằm trên đường thẳng và giá trị tham số thời gian $t$ phải thỏa mãn $0 \le t \le 3$.

Giải bài 5.18 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Quỹ đạo chuyển động của viên đạn là đường thẳng đi qua $A(1; 3; 4)$ và nhận vectơ vận tốc $\vec{v} = (2; 1; 6)$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của quỹ đạo là:

a) Với mục tiêu tại điểm $M(7; 7/2; 21)$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình quỹ đạo, ta có hệ phương trình:

Vì các giá trị $t$ tìm được là khác nhau (không tồn tại một giá trị $t$ duy nhất), nên điểm $M$ không nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn.

Kết luận: Viên đạn không bắn trúng mục tiêu tại điểm $M$.

b) Với mục tiêu tại điểm $N(-3; 1; -8)$

Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình quỹ đạo, ta có hệ phương trình:

Ta thấy tồn tại giá trị duy nhất $t = -2$. Tuy nhiên, trong thực tế chuyển động, thời gian $t$ tính từ thời điểm bắn ($t=0$) phải là số dương ($t > 0$). Giá trị $t = -2$ có nghĩa là điểm $N$ nằm trên đường thẳng chứa quỹ đạo nhưng ở hướng ngược lại với hướng bắn.

Kết luận: Viên đạn không bắn trúng mục tiêu tại điểm $N$.

(Lưu ý: Nếu bài toán không giới hạn hướng bắn và thời gian, điểm N thuộc đường thẳng. Nhưng với bài toán vật lý thực tế, viên đạn không thể bay ngược thời gian về vị trí N).

Tổng kết kiến thức

• Phương trình đường thẳng: Ứng dụng để mô tả các chuyển động thẳng đều trong không gian.

• Ý nghĩa của tham số $t$: Trong các bài toán chuyển động, $t$ thường đại diện cho thời gian. Do đó, $t$ phải thỏa mãn các điều kiện thực tế của đề bài (ví dụ $t \ge 0$).

• Kiểm tra điểm thuộc đường: Một điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng tại cùng một giá trị $t$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên điều kiện thực tế: Nhiều học sinh chỉ kiểm tra xem điểm có thuộc đường thẳng hay không mà quên mất điều kiện $t \ge 0$ và $t \le 3$.

• Sai sót trong tính toán: Khi giải hệ phương trình với phân số (như điểm $M$), học sinh dễ tính nhầm giá trị $t$, dẫn đến kết luận sai.

• Nhầm lẫn vectơ vận tốc: Đôi khi học sinh nhầm vectơ vận tốc là điểm đến thay vì là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài tập trắc nghiệm:

1. Tính $t$ từ phương trình đơn giản nhất: Thường là phương trình chứa $y$ hoặc $x$.

2. Thử lại: Lấy giá trị $t$ đó thay vào hai phương trình còn lại. Nếu khớp thì điểm thuộc đường thẳng.

3. Kiểm tra miền giá trị: Luôn nhìn lại xem $t$ có nằm trong khoảng thời gian đề bài cho phép hay không (trong bài này là $[0, 3]$). Nếu $t$ âm hoặc $t > 3$, viên đạn sẽ không trúng đích tại thời điểm đó.