Bài 5.8 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán thực tế về mái nhà hình chóp

Bài 5.8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Phân tích nhanh

Để kiểm tra ý tưởng của bác An có thực hiện được hay không, chúng ta cần:

1. Mô hình hóa: Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào hình chóp đều đại diện cho mái nhà.

2. Tính toán: Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt bên kề nhau.

3. Kiểm tra: Xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến đó có thể bằng $0$ hay không. Nếu không thể bằng $0$ với mọi kích thước hình chóp, thì ý tưởng không khả thi.

Giải bài 5.8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Giả sử mái nhà là hình chóp đều $S.ABCD$. Ta gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình minh họa với gốc $O$ là tâm của đáy hình vuông $ABCD$.

Gọi độ dài cạnh đáy là $a$, độ dài cạnh bên là $b$ ($b > \frac{a\sqrt{2}}{2}$).

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên:

Chiều cao của hình chóp là $SO$. Trong tam giác vuông $SOC$:

1. Xác định tọa độ các đỉnh:

• $O(0; 0; 0)$

• $S\left(0; 0; \sqrt{\frac{2b^2 - a^2}{2}}\right)$

• $C\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}; 0; 0\right)$

• $D\left(0; \frac{a\sqrt{2}}{2}; 0\right)$

• $B\left(0; -\frac{a\sqrt{2}}{2}; 0\right)$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt bên:

Ta tính các vectơ:

• $\vec{SC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}; 0; -\sqrt{\frac{2b^2 - a^2}{2}}\right)$

• $\vec{DC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}; -\frac{a\sqrt{2}}{2}; 0\right)$

• $\vec{BC} = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}; \frac{a\sqrt{2}}{2}; 0\right)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$ là $\vec{n}_1$:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SCB)$ là $\vec{n}_2$:

3. Kiểm tra điều kiện vuông góc:

Tính tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2$:

Vì $a$ là độ dài cạnh đáy ($a > 0$) nên $-\frac{a^2}{2} < 0$. Suy ra $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 \neq 0$ với mọi $a, b$.

Kết luận: Hai mặt bên kề nhau của hình chóp đều không thể vuông góc với nhau. Vậy ý tưởng của bác An không thể thực hiện được.

Tổng kết kiến thức

• Vị trí tương đối: Để hai mặt phẳng vuông góc, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến phải bằng $0$.

• Hình chóp đều: Các mặt bên luôn tạo với nhau một góc tù (trong trường hợp tứ giác đều), do đó chúng không bao giờ vuông góc.

• Phương pháp tọa độ: Giúp giải quyết các bài toán định tính (có thể hay không) một cách chính xác bằng định lượng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa các mặt: Học sinh thường nhầm mặt bên kề nhau (như $SCD$ và $SCB$) với các mặt đối diện.

• Sai sót khi tính tích có hướng: Do biểu thức chứa nhiều căn thức và biến số $a, b$, việc tính toán định thức rất dễ nhầm dấu.

• Hiểu lầm về hình học: Nghĩ rằng chỉ cần điều chỉnh độ cao $h$ (hay cạnh bên $b$) là có thể làm chúng vuông góc. Tuy nhiên, phép tính cho thấy tích vô hướng chỉ phụ thuộc vào cạnh đáy $a$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, nếu gặp câu hỏi về góc giữa hai mặt bên của hình chóp tứ giác đều:

1. Hãy nhớ: Góc giữa hai mặt bên kề nhau luôn là góc tù.

2. Tích vô hướng của hai VTPT luôn là $-\frac{a^2}{2}$ (nếu chuẩn hóa vectơ chỉ phương đáy). Vì kết quả này luôn âm nên không bao giờ xảy ra trường hợp vuông góc.

3. Điều này giải thích tại sao các mái nhà hình kim tự tháp thường có các cạnh khép vào nhau mà không tạo ra góc $90^\circ$ tại đường xối (cạnh bên).