Bài 5.13 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 5.13 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).

Phân tích nhanh

Để lập phương trình của một đường thẳng, ta cần tìm một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương (VTCP):

1. Điểm đi qua: Có thể chọn điểm $A(2; 3; -1)$ hoặc điểm $B(1; -2; 4)$.

2. Vectơ chỉ phương: Vì đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên nó nhận chính vectơ $\vec{AB}$ làm vectơ chỉ phương.

Giải bài 5.13 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính tọa độ vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:

Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$

Chọn đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; 3; -1)$ và có VTCP $\vec{u} = (-1; -5; 5)$, ta có phương trình tham số:

Bước 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Từ tọa độ điểm $A$ và VTCP $\vec{u}$, phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là:

Tổng kết kiến thức

• Cách tìm VTCP: Khi đường thẳng đi qua hai điểm $M, N$ thì VTCP $\vec{u} = \vec{MN}$.

• Lưu ý về điểm đi qua: Bạn có thể dùng tọa độ điểm $B$ để viết phương trình, kết quả trông sẽ khác nhưng vẫn biểu diễn cùng một đường thẳng.

• Điều kiện chính tắc: Chỉ viết được phương trình chính tắc khi cả ba thành phần của VTCP ($a, b, c$) đều khác $0$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai tọa độ vectơ: Lỗi phổ biến nhất là lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối (lấy $A - B$) thay vì lấy $B - A$. Dù kết quả vẫn cho ra VTCP cùng phương nhưng dễ gây nhầm lẫn khi đối chiếu đáp án.

• Nhầm dấu tọa độ điểm: Khi viết phương trình chính tắc cho điểm $A(2; 3; -1)$, trên tử số phải là $x-2, y-3, z+1$. Học sinh hay quên đổi dấu cho cao độ $z$.

• Không rút gọn VTCP: Nếu tính ra $\vec{AB} = (-2; -10; 10)$, bạn nên rút gọn thành $(-1; -5; 5)$ để phương trình trông gọn gàng và dễ chọn đáp án trắc nghiệm hơn.

Mẹo giải nhanh

Trong các đề thi trắc nghiệm, phương trình đúng có thể không sử dụng điểm $A$ hay $B$ mà sử dụng một điểm khác nằm trên đường thẳng. Cách kiểm tra nhanh nhất:

1. Kiểm tra VTCP: Xem mẫu số có tỉ lệ với $(-1; -5; 5)$ hay không.

2. Thay điểm: Lấy tọa độ điểm $A(2; 3; -1)$ thay vào phương trình ở đáp án. Nếu cả 3 phân số bằng nhau (đối với chính tắc) hoặc ra cùng một giá trị $t$ (đối với tham số) thì đó là đáp án đúng.

3. Đổi dấu mẫu số: Đôi khi đáp án sẽ đổi dấu toàn bộ mẫu số thành $(1; 5; -5)$ để tránh nhiều dấu trừ, hãy lưu ý điều này!