Bài 6.5 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.5 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán điển hình về xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất. Kết quả của thí nghiệm thứ hai phụ thuộc trực tiếp vào kết quả của thí nghiệm thứ nhất. Để dễ hình dung, chúng ta có thể mô hình hóa bài toán qua sơ đồ hình cây.

Giải bài 6.5 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Thí nghiệm thứ nhất thành công”.

Gọi $B$ là biến cố: “Thí nghiệm thứ hai thành công”.

Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau:

• $P(A) = 0,7 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,7 = 0,3$.

• $P(B|A) = 0,9$ (Xác suất thí nghiệm 2 thành công khi thí nghiệm 1 thành công).

• $P(B|\overline{A}) = 0,4$ (Xác suất thí nghiệm 2 thành công khi thí nghiệm 1 thất bại).

a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công

Biến cố “Cả hai thí nghiệm đều thành công” là biến cố giao $AB$.

Áp dụng công thức nhân xác suất:

Thay số:

b) Xác suất cả hai thí nghiệm đều không thành công

Biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công” là biến cố giao $\overline{A}\overline{B}$.

Trước hết, ta tính xác suất thí nghiệm 2 thất bại khi biết thí nghiệm 1 đã thất bại:

Áp dụng công thức nhân xác suất:

Thay số:

c) Xác suất thí nghiệm 1 thành công và thí nghiệm 2 không thành công

Biến cố này là biến cố giao $A\overline{B}$.

Trước hết, ta tính xác suất thí nghiệm 2 thất bại khi biết thí nghiệm 1 đã thành công:

Áp dụng công thức nhân xác suất:

Thay số:

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$.

• Xác suất của biến cố đối trong điều kiện: $P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$.

• Quy tắc sơ đồ cây: Nhân các xác suất dọc theo các nhánh để tìm xác suất của một chuỗi kết quả.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa các điều kiện: Học sinh hay lấy nhầm $P(B|A)$ cho trường hợp thí nghiệm 1 thất bại. Cần đọc kỹ "Nếu... thì..." để xác định đúng biến cố điều kiện.

• Quên tính xác suất biến cố đối: Trong câu b và c, việc quên lấy $1$ trừ đi xác suất thành công để ra xác suất thất bại là lỗi rất phổ biến.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán thí nghiệm liên tiếp, các em hãy vẽ nhanh một sơ đồ hình cây ra nháp:

1. Nhánh 1: Thí nghiệm 1 (Thành công $0,7$ / Thất bại $0,3$).

2. Nhánh 2: Từ mỗi kết quả trên, vẽ tiếp kết quả của thí nghiệm 2.

3. Muốn tính xác suất đường nào, chỉ cần nhân các số trên đường đó lại với nhau.

   Ví dụ câu c: Đi theo nhánh "Thành công ($0,7$)" rồi rẽ sang nhánh "Thất bại của thí nghiệm 2 ($0,1$)" $\Rightarrow 0,7 \times 0,1 = 0,07$.