Bài 6.3 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.3 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;

b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.

Phân tích bài toán

Bài toán yêu cầu tính xác suất có điều kiện dựa trên hai biến cố:

• Biến cố $A$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”.

• Biến cố $B$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.

Chúng ta cần tính $P(A | B)$ cho câu a và $P(B | A)$ cho câu b.

Giải bài 6.3 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Không gian mẫu khi gieo hai con xúc xắc là $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.

a) Tính xác suất tổng bằng 7 khi biết có ít nhất một con 5 chấm ($P(A | B)$)

Bước 1: Xác định biến cố giao $AB$

Biến cố $AB$ là tập hợp các kết quả vừa có ít nhất một mặt 5 chấm, vừa có tổng bằng 7.

$AB = \{(2; 5); (5; 2)\}$. Số phần tử $n(AB) = 2$.

Xác suất: $P(AB) = \frac{2}{36}$.

Bước 2: Tính xác suất biến cố điều kiện $B$

Sử dụng biến cố đối $\overline{B}$: "Cả hai con xúc xắc đều không xuất hiện mặt 5 chấm".

Các mặt có thể xuất hiện là $\{1; 2; 3; 4; 6\}$ (có 5 cách).

Số phần tử của $\overline{B}$ là: $n(\overline{B}) = 5 \cdot 5 = 25$.

Xác suất: $P(\overline{B}) = \frac{25}{36}$.

Xác suất biến cố $B$ là: $P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện

b) Tính xác suất có ít nhất một con 5 chấm khi biết tổng bằng 7 ($P(B | A)$)

Bước 1: Tính xác suất biến cố điều kiện $A$

Tập hợp các kết quả có tổng số chấm bằng 7 là:

$A = \{(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)\}$.

Số phần tử $n(A) = 6$.

Xác suất: $P(A) = \frac{6}{36}$.

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện

Sử dụng kết quả $P(AB) = \frac{2}{36}$ đã tính ở câu a:

Kết luận: * a) Xác suất là $2/11$.

• b) Xác suất là $1/3$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện: $P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$.

• Mẹo đếm: Khi gieo 2 xúc xắc, hãy luôn nhớ bảng kết quả $6 \times 6$ để tránh liệt kê thiếu phần tử.

• Phân biệt điều kiện: "Biết rằng..." chính là biến cố đóng vai trò làm mẫu số trong công thức.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Liệt kê thiếu phần tử của $B$: Học sinh thường quên các cặp như $(5; 5)$ hoặc chỉ đếm một chiều mà quên tính hoán vị giữa 2 con xúc xắc.

• Nhầm lẫn giữa câu a và câu b: Hai câu hỏi này có các biến cố giống nhau nhưng vai trò "điều kiện" hoán đổi cho nhau, dẫn đến kết quả hoàn toàn khác nhau.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán gieo xúc xắc, nếu đề bài đã cho điều kiện rõ ràng, các em có thể tính trực tiếp trên số phần tử:

$P(A|B) = \frac{\text{Số trường hợp thỏa cả hai}}{\text{Số trường hợp thỏa điều kiện}}$

Áp dụng câu b: Có 6 cặp tổng bằng 7. Trong đó có 2 cặp chứa mặt 5 chấm là $(2; 5)$ và $(5; 2)$. Xác suất là $2/6 = 1/3$. Rất đơn giản!