Bài 5.7 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh vuông góc và tìm điểm cách đều mặt phẳng

Bài 5.7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phân tích nhanh

• Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Chúng ta cần chứng minh tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng $0$.

• Tìm điểm cách đều: Điểm $M$ thuộc trục $Ox$ nên tọa độ có dạng $(a; 0; 0)$. Sau đó, áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến từng mặt phẳng và cho chúng bằng nhau.

Giải bài 5.7 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Chứng minh hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_P = (1; 3; -1)$.

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_Q = (1; -1; -2)$.

Tính tích vô hướng của hai vectơ:

Vì tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng $0$ nên hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau. (đpcm)

b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ cách đều $(P)$ và $(Q)$

Vì điểm $M$ thuộc trục $Ox$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng: $M(a; 0; 0)$.

Theo đề bài, điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta có phương trình:

Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối:

Giải phương trình bậc hai trên, ta tìm được hai nghiệm:

Kết luận: Có hai điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán:

• $M_1 \left( \frac{-11 - \sqrt{66}}{5}; 0; 0 \right)$

• $M_2 \left( \frac{-11 + \sqrt{66}}{5}; 0; 0 \right)$

Tổng kết kiến thức

• Điều kiện vuông góc: $(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0$.

• Điểm trên các trục tọa độ:

  • Thuộc $Ox$: $(a; 0; 0)$

  • Thuộc $Oy$: $(0; b; 0)$

  • Thuộc $Oz$: $(0; 0; c)$

• Công thức khoảng cách: Cần nhớ chính xác cả tử số (trị tuyệt đối) và mẫu số (độ dài vectơ pháp tuyến).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tọa độ hóa điểm $M$: Nhiều bạn lúng túng khi không biết bắt đầu từ đâu khi đề bài cho "M thuộc trục $Ox$".

• Sai sót khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Một số bạn chỉ xét một trường hợp $a = a + 1$ mà quên mất trường hợp đối hoặc quên bình phương hai vế.

• Lỗi tính toán căn thức: Việc tính toán với các số không chính phương như $\sqrt{11}$ và $\sqrt{6}$ dễ dẫn đến sai sót nếu không cẩn thận.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, nếu gặp phương trình $\sqrt{A}|f(x)| = \sqrt{B}|g(x)|$, bạn có thể giải nhanh bằng cách chia hai trường hợp:

1. $\sqrt{A} \cdot f(x) = \sqrt{B} \cdot g(x)$

2. $\sqrt{A} \cdot f(x) = -\sqrt{B} \cdot g(x)$

   Cách này giúp tránh việc phải khai triển hằng đẳng thức phức tạp khi bình phương, giúp tiết kiệm thời gian đáng kể.