Bài 5.12 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 5.12 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.

Phân tích nhanh

Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$, ta cần xác định:

1. Điểm đi qua: Đề bài đã cho là $A(2; -1; 4)$.

2. Vectơ chỉ phương (VTCP): Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên giá của đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với giá của vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng $(P)$.

   • Do đó, VTCP của đường thẳng $\Delta$ chính là VTPT của mặt phẳng $(P)$.

Giải bài 5.12 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P): x + 3y - z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$

Vì $\Delta \perp (P)$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ làm vectơ chỉ phương. Ta có:

Bước 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 4)$ và có VTCP $\vec{u} = (1; 3; -1)$ có phương trình tham số là:

Bước 4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$

Dựa vào tọa độ điểm $A$ và VTCP $\vec{u}$, phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là:

Tổng kết kiến thức

• Mối quan hệ vuông góc: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì VTCP của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng.

• Dạng phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{cases}$

• Dạng phương trình chính tắc: $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa VTCP và VTPT: Một số bạn nhầm lẫn điều kiện vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng giống như hai đường thẳng vuông góc (tích vô hướng bằng 0). Hãy nhớ: Đường $\perp$ Mặt $\Rightarrow$ Chỉ phương = Pháp tuyến.

• Sai dấu khi chuyển từ tọa độ điểm sang phương trình: Ví dụ tọa độ $y = -1$ khi đưa vào phương trình chính tắc phải là $y - (-1) = y + 1$. Nhiều học sinh vẫn giữ nguyên là $y - 1$.

• Thiếu điều kiện $t$: Khi viết phương trình tham số, đừng quên bổ sung $t \in \mathbb{R}$.

Mẹo giải nhanh

Để giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm:

1. Kiểm tra VTCP: Nhìn vào các hệ số của $x, y, z$ trong phương trình mặt phẳng $(1, 3, -1)$. Loại ngay các đáp án có bộ số ở mẫu (hoặc hệ số $t$) không tỉ lệ với $(1, 3, -1)$.

2. Thử tọa độ điểm: Thay tọa độ điểm $A(2, -1, 4)$ vào các phương trình còn lại.

   • Đối với chính tắc: Các tử số phải đồng thời bằng 0.

   • Đối với tham số: Phải tồn tại một giá trị $t$ duy nhất (thường là $t=0$) thỏa mãn cả 3 dòng.

3. Lưu ý về dấu: Nếu mẫu số của phương trình chính tắc có dấu âm ở cao độ (như $-1$), đôi khi đề bài sẽ đẩy dấu trừ lên tử số hoặc đổi dấu cả bộ mẫu số thành $(-1; -3; 1)$. Hãy bình tĩnh quan sát để chọn đáp án đúng nhất.