Bài 5.16 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Bài 5.16 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Δ₁ : $\left\{\begin{matrix}x=-1+t\\y=1\\z=3+2t\end{matrix}\right.$ và Δ₂ : $\left\{\begin{matrix}x=-1+2s\\y=2+s\\z=1+3s\end{matrix}\right.$

Phân tích nhanh

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong không gian, chúng ta thực hiện các bước:

1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP): Xác định $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$.

2. Xét tính cùng phương: Nếu $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ cùng phương, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nếu không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. Sử dụng tích hỗn tạp: Tính $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB}$.

   • Nếu kết quả bằng $0$: Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng (cắt nhau).

   • Nếu kết quả khác $0$: Hai đường thẳng chéo nhau.

Giải bài 5.16 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Xác định điểm và vectơ chỉ phương

• Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(-1; 1; 3)$ và có VTCP $\vec{u_1} = (1; 0; 2)$.

• Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(-1; 2; 1)$ và có VTCP $\vec{u_2} = (2; 1; 3)$.

Bước 2: Tính vectơ nối hai điểm và tích có hướng

• Vectơ nối hai điểm: $\vec{AB} = (-1 - (-1); 2 - 1; 1 - 3) = (0; 1; -2)$.

• Tích có hướng của hai VTCP:

  $$\vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \left( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) = (-2; 1; 1)$$

  Ta thấy $\vec{n} \neq \vec{0}$, chứng tỏ $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương.

Bước 3: Tính tích hỗn tạp và kết luận

Tính tích vô hướng của $\vec{AB}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$:

Vì $\vec{AB} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq 0$ nên hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Kết luận: Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Tổng kết kiến thức

• Điều kiện chéo nhau: $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ không cùng phương và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB} \neq 0$.

• Vectơ chỉ phương từ tham số: Hệ số của tham số ($t, s$) chính là tọa độ của VTCP. Lưu ý nếu biến nào vắng mặt (như $y=1$ ở $\Delta_1$), hệ số tương ứng bằng $0$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Xác định sai VTCP: Nhiều bạn lúng túng khi phương trình tham số bị "khuyết" (ví dụ $\Delta_1$ không có $t$ ở phương trình $y$). Hãy nhớ ghi rõ là $0 \cdot t$.

• Tính toán tích hỗn tạp: Đây là bước dễ sai số nhất. Chỉ cần nhầm một dấu cộng hoặc trừ ở tích có hướng sẽ dẫn đến kết quả tích vô hướng bị sai.

• Nhầm giữa cắt nhau và chéo nhau: Học sinh thường nhớ là nếu tích hỗn tạp bằng $0$ thì cắt nhau, nhưng đôi khi quên rằng nếu tích đó khác $0$ thì kết luận là chéo nhau.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, thay vì tính tích hỗn tạp, bạn có thể giải hệ phương trình:

1. Từ phương trình (2) suy ra ngay $s = -1$.

2. Thay $s = -1$ vào phương trình (1): $-1 + t = -1 - 2 \Rightarrow t = -2$.

3. Thay $s = -1$ và $t = -2$ vào phương trình (3): $3 + 2(-2) = 1 + 3(-1) \Leftrightarrow -1 = -2$ (Vô lý).

Hệ phương trình vô nghiệm và hai VTCP không cùng phương $\Rightarrow$ Hai đường thẳng chéo nhau. Cách này thường nhanh hơn đối với các phương trình có số liệu đơn giản!