Bài 5.17 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán thực tế về nút giao thông

Bài 5.17 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: Δ₁: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}$ và Δ₂: $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán thực tế này, chúng ta cần chuyển đổi các thuật ngữ đời sống sang ngôn ngữ toán học:

• Hai con đường vuông góc: Tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng $0$.

• Nút giao thông khác mức: Nghĩa là hai con đường không cắt nhau và không song song (trong thực tế là chéo nhau), đảm bảo luồng giao thông ở các cao độ khác nhau không xung đột.

Giải bài 5.17 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Kiểm tra tính vuông góc

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

• Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương (VTCP): $\vec{u_1} = (2; -1; 3)$.

• Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương (VTCP): $\vec{u_2} = (-1; 1; 1)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng

Kết luận: Vì tích vô hướng bằng $0$ nên hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Xác định nút giao thông có khác mức hay không

Để biết nút giao thông có khác mức hay không, ta xét vị trí tương đối giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

Bước 1: Xác định điểm thuộc đường thẳng và vectơ nối

• $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1; 0; -1)$.

• $\Delta_2$ đi qua điểm $B(3; -1; 0)$.

• Vectơ $\vec{AB} = (3 - 1; -1 - 0; 0 - (-1)) = (2; -1; 1)$.

Bước 2: Tính tích có hướng của hai VTCP

Vì $\vec{n} \neq \vec{0}$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bước 3: Tính tích hỗn tạp

Bước 4: Biện luận

Vì tích hỗn tạp $\vec{AB} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq 0$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Kết luận: Vì hai đường thẳng chéo nhau (không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng) nên nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.

Tổng kết kiến thức

• Đường thẳng vuông góc: $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$. Lưu ý: Vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

• Đường thẳng chéo nhau: Tích hỗn tạp $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{AB} \neq 0$.

• Ứng dụng thực tế: Trong kỹ thuật cầu đường, các nút giao khác mức (như cầu vượt, hầm chui) được thiết kế dựa trên nguyên lý các đường chéo nhau trong không gian để tránh va chạm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn khái niệm: Một số bạn nghĩ rằng "vuông góc" thì phải "cắt nhau". Tuy nhiên, trong không gian, hai đường thẳng vuông góc hoàn toàn có thể chéo nhau (khác mức).

• Sai sót khi tính tích có hướng: Khi che cột giữa để tính tung độ, hãy cẩn thận với công thức $a_3b_1 - a_1b_3$ hoặc thêm dấu trừ phía trước định thức.

• Kết luận thiếu căn cứ: Cần chứng minh đủ điều kiện chéo nhau mới được kết luận là "khác mức".

Mẹo giải nhanh

Trong các đề thi trắc nghiệm, bạn có thể kiểm tra nhanh ý (b) bằng cách giải hệ phương trình tham số. Nếu hệ vô nghiệm và hai VTCP không cùng phương thì chúng chéo nhau.

Tuy nhiên, với bài toán yêu cầu giải thích rõ ràng như thế này, phương pháp sử dụng tích hỗn tạp là phương pháp trình bày chuyên nghiệp và đạt điểm tối đa nhất!