Bài 5.3 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cho trước

Bài 5.3 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.

Phân tích nhanh

Bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và điều kiện vuông góc. Cần lưu ý:

• Nếu mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ và $(R)$, thì vectơ pháp tuyến của $(P)$ sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của $(Q)$ và $(R)$.

• Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ chính là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$.

Giải bài 5.3 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Xác định các vectơ pháp tuyến đã cho

• Mặt phẳng $(Q): 3x + 2y - z = 0$ có VTPT là $\vec{n}_Q = (3; 2; -1)$.

• Mặt phẳng $(R): x + y - z = 0$ có VTPT là $\vec{n}_R = (1; 1; -1)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Vì $(P) \perp (Q)$ và $(P) \perp (R)$ nên mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là:

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; -1; 5)$ và nhận $\vec{n}_P = (-1; 2; 1)$ làm VTPT có phương trình là:

Kết luận: Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x - 2y - z + 2 = 0$.

Tổng kết kiến thức

Để viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q), (R)$:

1. Tìm VTPT $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$.

2. Tính $\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{n}_R]$.

3. Sử dụng công thức: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai tích có hướng: Học sinh thường nhầm dấu ở cao độ hoặc tung độ khi tính định thức. Hãy nhớ công thức "che cột tương ứng".

• Nhầm lẫn giữa điểm và vectơ: Thay tọa độ điểm $M$ vào vị trí của hệ số $A, B, C$ trong phương trình (lỗi này rất phổ biến). Hãy nhớ $A, B, C$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến.

• Quên đổi dấu: Khi nhân cả hai vế với $-1$ để đưa phương trình về dạng đẹp hơn (hệ số $x$ dương), học sinh thường quên đổi dấu các số hạng tự do.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm, sau khi tính được $\vec{n}_P = (-1; 2; 1)$ hoặc các vectơ cùng phương như $(1; -2; -1)$, bạn có thể:

1. Loại ngay các đáp án không có hệ số tỉ lệ với $(1; -2; -1)$.

2. Thay tọa độ điểm $M(1; -1; 5)$ vào các đáp án còn lại. Đáp án nào cho kết quả bằng 0 thì đó là đáp án đúng. Cách này giúp tiết kiệm thời gian khai triển biểu thức.