Giải bài tập hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản và nâng cao - Toán 12 chuyên đề

Dạng toán này không chỉ yêu cầu các em thành thạo các biến đổi đặc trưng của mũ – logarit mà còn đòi hỏi kỹ năng giải hệ đại số (phương pháp thế, cộng đại số, đánh giá bằng bất đẳng thức). Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết từ các bài tập cơ bản đến những chuyên đề nâng cao dành cho học sinh lớp 12.

I. Giải bài tập hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Bài tập 1: Giải hệ phương trình mũ và logarit

a) $\begin{cases} x^4+y^4=641 \\ \lg x+\lg y=1 \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x>0, y>0$. Hệ tương đương:

  $\begin{cases} x^4+y^4=641 \\ \lg(xy)=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^4+y^4=641 \\ xy=10 \end{cases}$

  Từ phương trình dưới ta có $x = 10/y$, thay vào phương trình trên:

  $x^4+\left (\frac{10}{x} \right )^4=641 \Leftrightarrow x^4+\frac{10^4}{x^4}=641$

  Đặt $x^4 = t > 0$, ta được: $t+\frac{10000}{t}=641 \Leftrightarrow t^2-641t+10000=0$

  Giải phương trình ta được: $t = 16$ (nhận) hoặc $t = 625$ (nhận).

  • TH1: $t = 16 \Rightarrow x^4 = 16 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 5$.

  • TH2: $t = 625 \Rightarrow x^4 = 625 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = 2$.

    Kết luận: Hệ có 2 cặp nghiệm $(x; y)$ là: $(2;5)$ và $(5;2)$.

• Nhận xét: Ta thấy hệ phương trình trên là hệ đối xứng (vị trí $x$ và $y$ có thể đổi chỗ cho nhau). Với hệ đối xứng, nếu có nghiệm $(x_0; y_0)$ thì cũng sẽ có nghiệm $(y_0; x_0)$.

b) $\begin{cases} 5\log_2x-\log_4y^3=-8 \\ 5\log_2x^2-\log_4y=-9 \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x>0, y>0$. Hệ tương đương:

  $\begin{cases} 5\log_2x-3\log_4y=-8 \\ 10\log_2x-\log_4y=-9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 10\log_2x-6\log_4y=-16 \\ 10\log_2x-\log_4y=-9 \end{cases}$

  Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được:

  $\log_4y=\frac{7}{5} \Rightarrow \log_2x=\frac{-19}{25} \Rightarrow x=2^{\frac{-19}{25}}; y=4^{\frac{7}{5}}$.

  Kết luận: Nghiệm của hệ là $(x;y)=\left ( 2^{\frac{-19}{25}}; 4^{\frac{7}{5}} \right )$.

c) $\begin{cases} x^y=y^x \\ y=mx \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x>0, y>0$.

  • Nếu $m = 1 \Rightarrow y = x$, hệ có vô số nghiệm $(a; a)$ với $a>0$.

  • Nếu $m \neq 1$ và $m > 0$, hệ tương đương: $\begin{cases} y\ln x=x\ln y \\ y=mx \end{cases}$

    Từ đó: $m\ln x = \ln y \quad (*)$.

    Mặt khác từ $y=mx \Rightarrow \ln y = \ln m + \ln x \quad ()$.

    Từ $(*)$ và $()$: $m\ln x = \ln m + \ln x \Rightarrow \ln x = \frac{\ln m}{m-1} = \ln m^{\frac{1}{m-1}}$.

    Kết luận: Nếu $m = 1$, hệ có vô số nghiệm $(a;a), a>0$. Nếu $m > 0, m \neq 1$, hệ có nghiệm $(x;y)=\left ( m^{\frac{1}{m-1}}; m^{\frac{m}{m-1}} \right )$.

Bài tập 2: Giải hệ bằng phương pháp đánh giá

a) $\begin{cases} (x+y)^x=(x-y)^y \\ \log_2x=1+\log_2y \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x,y>0$.

  $\log_2x = \log_22 + \log_2y \Leftrightarrow x = 2y$.

  Thay vào phương trình đầu: $(3y)^{2y} = y^y \Leftrightarrow (9y^2)^y = y^y \Leftrightarrow 9y^2 = y \Leftrightarrow y = 1/9$ (vì $y>0$).

  Với $y = 1/9 \Rightarrow x = 2/9$. Vậy hệ có nghiệm: $x = 2/9; y = 1/9$.

b) $\begin{cases} |\log_2(x+y)|+|\log_2(x-y)|=1 \\ x.y=3 \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x+y>0$ và $x-y>0 \Rightarrow x>y>0$.

  Áp dụng BĐT Cauchy: $x+y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \log_2(x+y) > 1$.

  Nên $|\log_2(x+y)| + |\log_2(x-y)| > 1 \Rightarrow$ hệ vô nghiệm.

• Nhận xét: Ở câu b, ta dùng phương pháp đánh giá để dẫn đến kết luận hệ vô nghiệm.

Bài tập 3: Sử dụng tính đơn điệu và phép biến đổi tương đương

a) $\begin{cases} x^2-y^2=2 \\ \log_2(x+y)-\log_3(x-y)=1 \end{cases}$

• Lời giải:

  Từ $x^2-y^2=2 \Rightarrow x+y = \frac{2}{x-y}$. Thay vào phương trình dưới:

  $\log_2\frac{2}{x-y}-\log_3(x-y)=1 \Leftrightarrow 1-\log_2(x-y)-\log_3(x-y)=1$

  $\Leftrightarrow \log_2(x-y) + \log_3(x-y) = 0 \Leftrightarrow \log_2(x-y) + \log_32 \cdot \log_2(x-y) = 0$

  $\Leftrightarrow \log_2(x-y)(1+\log_32) = 0 \Leftrightarrow \log_2(x-y) = 0 \Leftrightarrow x-y = 1$.

  Hệ trở thành: $\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=2 \end{cases} \Leftrightarrow x=3/2; y=1/2$.

b) $\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ e^x-e^y=(\log_2y-\log_2x)(1+xy) \end{cases}$

• Lời giải:

  Điều kiện: $x,y>0$.

  • Nếu $x > y \Rightarrow e^x-e^y > 0$ nhưng $(\log_2y-\log_2x) < 0 \Rightarrow$ Vô lý.

  • Nếu $x < y \Rightarrow e^x-e^y < 0$ nhưng $(\log_2y-\log_2x) > 0 \Rightarrow$ Vô lý.

    Do đó hệ chỉ có nghiệm khi $x = y \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài tập 4: Hệ bất phương trình mũ và logarit

a) $\begin{cases} 2^x+2^y \le 1 \\ x+y \ge -2 \end{cases}$

• Lời giải:

  Ta có: $2^x+2^y \ge 2\sqrt{2^{x+y}} \ge 2\sqrt{2^{-2}} = 1$.

  Dấu "=" xảy ra khi $2^x=2^y=1/2 \Rightarrow x=y=-1$.

b) $\begin{cases} 4^{x+y-1}+3 \cdot 4^{2y-1} \le 2 \\ x+3y \ge 2-\log_43 \end{cases}$

• Lời giải:

  Áp dụng BĐT Cauchy: $4^{x+y-1}+3 \cdot 4^{2y-1} \ge 2\sqrt{3 \cdot 4^{x+3y-2}} \ge 2\sqrt{3 \cdot 4^{-\log_43}} = 2\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2$.

  Nghiệm của hệ khi dấu "=" xảy ra: $x = \frac{1}{2}(1+\log_43); y = \frac{1}{2}(1-\log_43)$.

• Nhận xét: Trong bài này vận dụng BĐT Cauchy cho một phương trình của hệ, sau đó kết hợp với điều kiện còn lại.

Bài tập 5: Giải hệ bất phương trình mũ và logarit

Giải hệ bất phương trình:

• Lời giải:

  1. Xét bất phương trình (1): $(x-1)\lg 2 + \lg(2^{x+1}+1) < \lg(7.2^x+12)$

     $$\Leftrightarrow \lg 2^{x-1} + \lg(2^{x+1}+1) < \lg(7.2^x+12)$$
     $$\Leftrightarrow \lg [2^{x-1}(2^{x+1}+1)] < \lg(7.2^x+12)$$
     $$\Leftrightarrow 2^{x-1} \cdot 2^{x+1} + 2^{x-1} < 7 \cdot 2^x + 12$$
     $$\Leftrightarrow 2^{2x} + \frac{1}{2} \cdot 2^x < 7 \cdot 2^x + 12$$
     $$\Leftrightarrow 2 \cdot 2^{2x} - 13 \cdot 2^x - 24 < 0$$

     Đặt $t = 2^x > 0$, ta có: $2t^2 - 13t - 24 < 0 \Leftrightarrow -\frac{3}{2} < t < 8$.

     Kết hợp điều kiện $t > 0 \Rightarrow 0 < 2^x < 8 \Leftrightarrow x < 3 \quad (*)$.

  2. Xét bất phương trình (2): $\log_x(x+2) > 2$

     • Trường hợp 1: $x > 1$

       $$\log_x(x+2) > 2 \Leftrightarrow x+2 > x^2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 2$$

       Kết hợp điều kiện $x > 1$ ta được: $1 < x < 2$.

     • Trường hợp 2: $0 < x < 1$

       $$\log_x(x+2) > 2 \Leftrightarrow x+2 < x^2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 > 0 \Leftrightarrow x < -1 \text{ hoặc } x > 2$$

       Kết hợp điều kiện $0 < x < 1$ ta thấy trường hợp này vô nghiệm.

       Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là $1 < x < 2 \quad ()$.

  3. Kết hợp nghiệm:

     Từ $(*)$ và $()$, ta có tập nghiệm của hệ bất phương trình là: $1 < x < 2$.

II. Bài tập hệ phương trình, bất phương trình mũ nâng cao tự giải

Dưới đây là các bài toán chọn lọc dành cho các em muốn thử sức với mức độ vận dụng cao:

• Bài tập 1: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:

  $$\begin{cases} 2^{3x+1}+2^{y-2}=3.2^{y+3x} \\ \sqrt{3x^2+1+xy}=\sqrt{x+1} \end{cases}$$

  • Đáp án: Hệ có 2 cặp nghiệm là $(0; 3-\log_211)$ và $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\log_2(3+\sqrt{8}); 2-\log_2(3+\sqrt{8})\right)$.

• Bài tập 2: Giải hệ phương trình mũ và logarit sau:

  $$\begin{cases} 2^{3x}=5y^2-4y \\ \frac{4^x+2^{x+1}}{2^x+2}=y \end{cases}$$

  • Đáp án: Hệ có 2 cặp nghiệm là $(0; 1)$ và $(2; 4)$.

• Bài tập 3: Tìm $m$ để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt:

  $$\begin{cases} \log_{\sqrt{3}}(x+1)-\log_{\sqrt{3}}(x-1)>\log_34 \\ \log_2(x^2-2x+5)-m\log_{x^2-2x+5}2=5 \end{cases}$$

  • Đáp án: Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì $m$ thỏa mãn: $-\frac{25}{4} < m < -6$.

• Bài tập 4: Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm $\forall b \in \mathbb{R}$.

  $$\begin{cases} (x^2+1)^a+(b^2+1)^y=2 \\ a+bxy+x^2y=1 \end{cases}$$

  • Đáp án: Với $a = 1$ thì hệ có nghiệm $\forall b \in \mathbb{R}$.

• Bài tập 5: Cho hệ phương trình mũ sau:

  $$\begin{cases} a^x+a^y=\frac{1}{2} \\ x+y=b^2-b+1 \end{cases} \quad (a>0)$$

  • i) Giải hệ khi $b = 1$.

  • ii) Tìm $a$ để hệ có nghiệm $\forall b \in [0;1]$.

  • Đáp án:

    • i) Với $b = 1$, hệ có 2 cặp nghiệm: $x = \log_a \left( \frac{1 \pm \sqrt{1-16a}}{4} \right)$; $y = 1 - \log_a \left( \frac{1 \pm \sqrt{1-16a}}{4} \right)$.

    • ii) Khi $0 < a \leq \frac{1}{32\sqrt[3]{2}}$, hệ có nghiệm $\forall b \in [0;1]$.