Hotline 0962 782 149

Phương trình mũ, bất phương trình mũ và bài tập áp dụng - Toán 12

09:04:5318/12/2018

Phương trình mũ và bất phương trình mũ có khá nhiều dạng toán, đây cũng là một trong những kiến thức rộng trong toán lớp 12 mà các em cần nắm vững và vận dụng linh hoạt để giải toán.

Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây

A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. Phương trình mũ cơ bản

+ Là dạng phương trình a^x = b; (*), với a, b cho trước và 0<a≠1

- Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm

- Nếu b>0: $small a^{x}=bLeftrightarrow x=log_{a}b$ (0<a≠1; b>0)

II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

a^f(x) = a^g(x) ⇔ a = 1 hoặc small left{egin{matrix} 0< a
eq 1 f(x)= g(x) end{matrix}
ight.

- Logorit hoá và đưa về cùng cơ số:

* Dạng 1: Phương trình a^f(x) = b ⇔ $small small left{egin{matrix} 0< a eq 1,b> 0 f(x)= log_{a}b end{matrix} ight.$

* Dạng 2: Phương trình:

a^f(x) = b^g(x) ⇔ $small log_{a}a^{f(x)}=log_{a}b^{g(x)}$ ⇔ $small f(x)=g(x).log_{a}b$

hoặc: $small log_{b}a^{f(x)}=log_{b}b^{g(x)}$ ⇔ $small g(x)=f(x).log_{b}a$

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $small 2^{x^{2}-x+8}=4^{1-3x}$

b) $small 5^{x+1}-5^{x}=2^{x+1}+2^{x+3}$

* Lời giải:

a) $small 2^{x^{2}-x+8}=4^{1-3x}$

⇔ $small small 2^{x^{2}-x+8}=2^{2(1-3x)}$

⇔ x² - x + 8 = 2 - 6x

⇔ x² + 5x + 6 = 0

⇔ x= -2 hoặc x = -3

b) $small 5^{x+1}-5^{x}=2^{x+1}+2^{x+3}$

⇔ $small 5.5^{x}-5^{x}=2.2^{x}+2.^{3}.2^{x}$

⇔ $small 4.5^{x}=10.2^{x}$

⇔ $small left ( frac{5}{2} ight )^{x}=frac{5}{2}$

⇔ x = 1

2. Phương pháp dùng ẩn phụ

* Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.

B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản

B5: Kết luận.

* Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua a^f(x) nên đặt t = a^f(x).

- Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: Aa^2f(x) + Ba^f(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t.

+ Dạng 2: Aa^3f(x) + Ba^2f(x) + Ca^f(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t.

+ Dạng 3: Aa^4f(x) + Ba^2f(x) + C = 0 ⇒ trùng phương ẩn t.

> Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

* Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với a^f(x) và b^f(x).

- Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: Aa^2f(x) + B(a.b)^f(x) + Cb^2f(x) = 0

⇒ Chia 2 vế cho a^2f(x) đưa về loại 1 dạng 1

+ Dạng 2: Aa^3f(x) + B(a².b)^f(x) + C(a.b²)^f(x) + D.b^3f(x) = 0

⇒ Chia 2 vế cho a³^f(x) đưa về loại 1 dạng 2

º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho a^n.^f(x) hoặc b^n.^f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1.

Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

+ Dạng 1: A.a^f(x) + B.b^f(x) + C = 0 với a.b=1

⇒ Đặt ẩn phụ t = a^f(x) ⇒ b^f(x) = 1/t

+ Dạng 2: A.a^f(x) + B.b^f(x) + C.c^f(x) = 0 với a.b=c².

⇒ Chia 2 vế của Pt cho c^f(x) và đưa về dạng 1.

3. Phương pháp logarit hóa

+ Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng a^f(x).b^g(x).c^h(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

- Xét bất phương trình a^x > b

- Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì a^x > 0 với mọi x∈R

- Nếu b>0, thì BPT tương đương với a^x > $small dpi{100} small a^{lag_{a}b}$

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > log_ab

- Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là x < log_ab

2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số

3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT MŨ

* Giải phương trình mũ áp dụng Phương pháp đưa về cùng cơ số

* Bài tập 1: Giải các phương trình mũ sau

a) 2^-x=2⁸ b) 2^-x=8

c) $small 2^{x^{2}-3x+2}=2^{x+2}$ d) $small 3^{-2-x^{2}}=3^{3x}$

* Lời giải:

a) 2^-x=2⁸ ⇔ -x =8 ⇔ x =-8

b) 2^-x=8 ⇔ 2^-x= 2³ ⇔ -x =3 ⇔ x =-3

c) $small dpi{100} small 2^{x^{2}-3x+2}=2^{x+2}$ ⇔ x²- 3x + 2 = x+2 ⇔ x²- 3x - x + 2 - 2 = 0

⇔ x²- 4x = 0 ⇔ x(x- 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4

d) $small dpi{100} small 3^{-2-x^{2}}=3^{3x}$ ⇔ -2 - x² = 3x ⇔ x² + 3x + 2 =0 ⇔ x=-1 hoặc x = -2

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2)

* Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau

a) $small dpi{100} small 2^{x^{2}-3x-2}=frac{1}{4}$ b) $small dpi{100} small left ( frac{1}{3} ight )^{^{x^{2}-3x+1}}=3$ c) 2^x+1 + 2^x-2 = 36

* Lời giải:

a) $small dpi{100} small dpi{100} small 2^{x^{2}-3x-2}=frac{1}{4}=2^{-2}$ ⇔ x² - 3x - 2 = -2 ⇔ x² - 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

b) $small dpi{100} small dpi{100} small left ( frac{1}{3} ight )^{^{x^{2}-3x+1}}=3=left ( frac{1}{3} ight )^{-1}$ ⇔ x² - 3x + 1 = -1 ⇔ x² - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

(cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2)

c) 2^x+1 + 2^x-2 = 36 ⇔ 2.2^x + 2^x/4 = 36 ⇔ 8.2^x + 2^x = 144

⇔ 9.2^x = 144 ⇔ 2^x = 16 ⇔ 2^x = 2⁴ ⇔ x = 4

* Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ

* Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau

a) 9^x - 4.3^x + 3 = 0

b) 9^x - 3.6^x + 2.4^x = 0

c) 5^x + 5^1-x -6 = 0

d) 25^x -2.5^x - 15 = 0

* Lời giải:

a) 9^x - 4.3^x + 3 = 0 đặt t = 3^x với t>0 ta được phương trình: t² - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0).

với t = 1 ⇔ 3^x = 1 ⇔ x=0

với t = 3 ⇔ 3^x = 3 ⇔ x=1

b) 9^x - 3.6^x + 2.4^x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4^x ta được phương trình sau

$small dpi{100} small left ( frac{9}{4} ight )^{x}-3left ( frac{6}{4} ight )^{x}+2=0$ ⇔ $small dpi{100} small left ( frac{3}{2} ight )^{2x}-3left ( frac{3}{2} ight )^{x}+2=0$ đặt t = (3/2)^x với t>0 ta được phương trình

t² - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0)

với t = 1 ⇔ (3/2)^x = 1 ⇔ x=0

với t = 2 ⇔ (3/2)^x = 2 ⇔ $small x=log_{frac{3}{2}}2$

c) 5^x + 5^1-x -6 = 0 ⇔ 5^x + 5.5^-x -6 = 0

Đặt t = 5^x (với t>0) thì 5^-x= 1/t ta được phương trình:

$small t+5frac{1}{t}-6=0 Leftrightarrow t^{2}-6t+5=0$ ⇔ t =1 hoặc t =5 (thoả điều kiện t>0)

với t = 1 ⇔ 5^x = 1 ⇔ x=0

với t = 5 ⇔ 5^x = 5 ⇔ x=1

d) d) 25^x -2.5^x - 15 = 0 ⇔ 5^2x - 2.5^x - 15 = 0 đặt t = 5^x với t>0 ta được phương trình

t² - 2t - 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại)

với t = 5 ⇔ 5^x = 1 ⇔ x=0

* Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá

* Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau

a) 3^x = 2 b) 2^x.3^x = 1

* Lời giải:

a) 3^x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế

Pt ⇔ log₃3^x = log₃2 ⇔ x = log₃2

b) 2^x.3^x = 1 ⇔ (2.3)^x = 1 ⇔ 6^x = 1 ⇔ log₆6^x =log₆1 ⇔ x = 0

hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được

Pt ⇔ log₂(2^x.3^x) = log₂1 ⇔ log₂(2^x.3^x) = 0 ⇔ log₂2^x + log₂3^x = 0

⇔ x+ x.log₂3 = 0 ⇔ x(1+ log₂3) = 0 ⇔ x = 0

* Giải các bất phương trình mũ sau

* Bài tập 5: Giải bất phương trình

a) 2^x-1 < 5 b) 0,3^x+2>7

c) $small 2^{x^{2}+3x-4}$ > 4^x-1 d) 27^1-2x < $small frac{1}{3}$

e) $small (sqrt{3})^{frac{x}{2}}$ > $small left (frac{1}{9} ight )^{2-x}$ f) $small (sqrt{5}+2)^{x-1}$ ≥ $small (sqrt{5}-2)^{-x^{2}+3}$

* Lời giải:

a) 2^x-1 < 5 ⇔ x - 1 < log₂5

⇔ x < 1+log₂5

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: $small S = left ( -infty ;1+log_{2}5 ight )$

b) 0,3^x+2>7 ⇔ x + 2 < log_0,37

⇔ x < -2 + log_0,37

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: $small dpi{100} small S = left ( -infty ;-2+log_{0,3}7 ight )$

c) Ta có: BPT ⇔ x²+3x-4 > 2(x-1)

⇔ x² + x - 2 > 0 ⇔ x<-2 hoặc x>1

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: small S=left ( -infty ;-2
ight )cup (1; +infty)

d) BPT ⇔ 3^3(1-2x) < 3^(-1)

⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3)

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: $small S=(frac{2}{3}; +infty)$

e) BPT ⇔ $small 3^{frac{x}{4}}$ > $small 3^{-2(2-x)}$ ⇔ $small frac{x}{4}$ > -2(2-x)

⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: $small S=(-infty ; frac{16}{7})$

f) Ta có: small (sqrt{5}+2)(sqrt{5}-2)=1

⇔ $small dpi{100} small (sqrt{5}-2)=frac{1}{(sqrt{5}+2)}=(sqrt{5}+2)^{-1}$

Khi đó ta có BPT ⇔ $small (sqrt{5}+2)^{x-1}$ ≥ $small small (sqrt{5}-2)^{-x^{2}+3}$ ⇔ $small small (sqrt{5}+2)^{x-1}$ ≥ $small small (sqrt{5}+2)^{x^{2}-3}$

⇔ x-1 ≥ x²-3 ⇔ -x² + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2

Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: small S=[-1;2]

* Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải)

a) 36^x - 3.30^x +2.25^x = 0

b) 3^x+1 = 5^x-2

c) 5^2x+1 - 7^x+1 = 5^2x + 7^x

d) $small 2^{3x^{2}-2x}$ > 32

e) $small 3^{x^{2}-3x}$ > 3^-2

f) 9^x - 3.6^x + 2.4^x > 0

g) 25^x - 6.5^x +5 > 0

Hy vọng với phần ôn tập về phương trình và bất phương trình mũ ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hayhochoi.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Tags:

Đánh giá & nhận xét

nguyễn thị giang

em xin flie với ạ

Trả lời -

20/03/2022 - 08:31

Admin

Chào em, nội dung này em chịu khó xem trên website nhé, chúc em nhiều thành công !

24/03/2022 - 18:40

thanh nhut

A.(

Trả lời -

14/07/2021 - 07:35

thanh nhut

Hãy nêu phương pháp giải phương trình mũ dạng A.(

Trả lời -

14/07/2021 - 07:35

Phạm xuân trường

Giải hộ em 4.3^2x+2^2x

Trả lời -

18/01/2021 - 09:44

Admin

Em chia 2 vế cho 6^x sẽ đực 4.(3/2)^x + (2/3)^x < 1 đặt (3/2)^x = t>0 được 4t + 1/t < 1 tương đương 4t^2 - t + 1 < 0 (lưu ý do t> 0 nên việc quy đồng khử mẫu thì dấu tam thức không bị đổi chiều em nhé)

25/01/2021 - 08:12

Nông Thị Ngọc

Hộ em ạ: 2^(x^2-x)- 2^(2+x-x^2)=3

Trả lời -

17/11/2020 - 20:39

Admin

2^(x^2-x) - 4.2^(x-x^2)=3 đặt t = 2^(x^2-x) điều kiện t>0; ta có t-4/t = 3 tương đương t^2 - 3t - 4 =0 (để ý a - b + c = 0) nên có nghiệm t=-1(loại do t<0) và t =4(nhận). thay lại có x^2-x=4 tương đương x^2 - x - 4 = 0 đến đây em tự giải ra nghiệm x nhé.

23/11/2020 - 08:16