Lũy thừa và Logarit, bài tập áp dụng - Toán 12

19:41:3007/12/2018

Lũy thừa, Logarit là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán 12, và nội dung này cũng nằm trong khối kiến thức ôn tập thi THPT quốc gia.

Bài viết này sẽ hệ thống lại kiến thức về Lũy thừa và Logarit có bài tập áp dụng và lời giải chi tiết để các em học sinh THPT lớp 12 ôn tập.

I. Tóm tắt lý thuyết vè Lũy thừa và Logarit

1. Lũy thừa

* Khái niệm về lũy thừa

• Định nghĩa 1.1 (lũy thừa với số mũ nguyên)

Cho n là số nguyên dương, với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

$a^{n}=underset{n}{underbrace{a.a...a}}$ với a≠0, a⁰=1, $a^{-n}=frac{1}{a^{n}}$

Chú ý: 0⁰ và 0^-n không có nghĩa

• Định nghĩa 1.2 (căn bậc n)

Cho số thực b và số nguyên dương n (n≥2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ=b.

* Nhận xét:

i) Với n lẻ và b∈R. Có duy nhất một căn bậc n của b ký hiệu là: sqrt[n]{b}

ii) Với n chẵn:

b<0: Không tồn tại căn bậc n của b
b=0,
b>0, có 2 căn trái dấu ký hiệu giá trị dương là và giá trị âm là

• Định nghĩa 1.3 (lũy thừa với số mũ hữu tỉ)

cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=frac{m}{n}$ trong đó m∈Z và n∈N, n≥2 lũy thừa của a với số mũ r là số a^r được xác định bởi:

$a^{r}=a^{^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{a^{m}}$

* Lưu ý: khi xét lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta chỉ xét cơ số a dương.

* Các tính chất về lũy thừa

+ Tính chất 1.1 (về lũy thừa)

1. a^m.aⁿ=a^m+n

2. (a.b)ⁿ=aⁿ.bⁿ

3. (aⁿ)^m=(a^m)ⁿ=a^m.n

4. $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

5. $left ( frac{a}{b} ight )^{n}=frac{a^{n}}{b^{n}}$

Lưu ý: khi xét lũy thừa với số mũ nguyên các tính chất trên vẫn đúng khi cơ số a là một số thực tùy ý.

+ Tính chất 2 (về căn bậc n)

cho a,b∈R, m,n∈N (m,n≥2), khi đó ta có:

1. sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}=sqrt[n]{a.b}

2. sqrt[n]{sqrt[m]{a}}=sqrt[m.n]{a}

3. $sqrt[n]{a^{n}}=a$ khi n lẻ; $sqrt[n]{a^{n}}=left | a ight |$ khi n chẵn

4. $(sqrt[n]{a})^{m}=sqrt[n]{a^{m}}=a^{frac{m}{n}}$ (a>0)

5. $sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}$

Lưu ý: Nếu số mũ m,n là số chẵn thì cơ số a, b phải thỏa mãn để căn thức có nghĩa.

+ Tính chất 1.3 (so sánh 2 lũy thừa)

Cho a∈R, m,n∈Z, khi đó:

Với a>1 thì a^m>aⁿ khi và chỉ khi m>n
Với 0<a<1 thì a^m>aⁿ khi và chỉ khi m<n

Từ tính chất 1.3 ta có hệ quả sau:

+ Hệ quả: Với 0<a<b và m là số nguyên thì

a^m<aⁿ khi và chỉ khi m>0
a^m>aⁿ khi và chỉ khi m<0

2. Logarit

* Khái niệm về Logarit

+ Định nghĩa 2.1 (logarit cơ số a của b)

Cho a,b>0 và b≠1, số α thỏa mãn a^α=b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiêu là log_ab

$alpha =log_{a}bLeftrightarrow a^{alpha }=b$

+ Nhận xét:

không có logarit của số âm và số 0
Cơ số của logarit phải dương và khác 1

+ Định nghĩa 2.2 (Logarit thập phân)

Logarit thập phân là logarit cơ số 10, ký hiệu logb

+ Định nghĩa 2.3 (Logarit tự nhiên)

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e, ký hiệu lnb

+ Lưu ý: $e=lim_{n o infty }left ( 1+frac{1}{n} ight )^{n}$

* Các tính chất của Logarit

+ Tính chất 2.1 (quy tắc tính logarit)

1. log_a1=0; log_aa=1

2. log_aaⁿ=n; $a^{log_{a}n}=n$

3. log_a(b.c)=log_ab+log_ac

4. $log_{a}left ( frac{b}{c} ight )=log_{a}b-log_{a}c$

5. $log_{a}b^{n}=nlog_{a}left | b ight |$

6. $log_{a^{n}}b=frac{1}{n}log_{left |a ight |}b$

7. $log_{a}b=frac{1}{log_{b}a}$

8. log_ab=log_ac.log_cb

9. $log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

* Chú ý: các số a, b, c trong công thức phải thỏa mãn để logarit có nghĩa.

+ Tính chất 2.2 (so sánh 2 logarit cùng cơ số)

Cho a>1, a≠0 và b,c>0

Khi a>1 thì log_ab>log_ac ⇔ b>c
Khi 0<a<1 thì log_ab>log_ac ⇔ b<c

- Từ tính chất 2.2 ta có ngay hệ quả sau đây.

+ Hệ quả 2.1

Cho a>1, a≠0 và b,c>0

log_ab>0⇔ a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1
log_ab=log_ac⇔ b=c

+ Tính chất 2.3 (so sánh 2 logarit khác cơ số)

Nếu 0<1<b<1 hoặc 1<a<b thì

log_ax>log_bx⇔ x>1
log_ax<log_bx⇔ 0<x<1

II. Bài tập áp dụng Lũy thừa và Logarit

° Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa

a) $sqrt[4]{x^{^{2}}sqrt[3]{x}},left ( x>0 ight )$ b) sqrt[5]{2sqrt[3]{2}sqrt{2}}

* Lời giải:

a) $sqrt[4]{x^{^{2}}sqrt[3]{x}}=sqrt[4]{x^{2}x^{frac{1}{3}}}=sqrt[4]{x^{}frac{7}{3}}=x^{}frac{7}{12}$

b) $sqrt[5]{2sqrt[3]{2}sqrt{2}}=sqrt[5]{2.2^{frac{1}{3}}.2^{frac{1}{2}}}=sqrt[5]{2^{}frac{11}{6}}=2^{frac{11}{30}}$

° Bài tập 2: So sánh m và n

a) 3^m > 3ⁿ b) (1/9)^m>(1/9)ⁿ

* Lời giải:

a) m>n

b) m<n

° Bài tập 3: Tìm điều kiện của a và x biết

a) $4^{a}=sqrt[5]{1024}$

b) $sqrt{frac{5}{2}}left ( frac{2}{5} ight )^{x+1}=frac{8}{125}$

* Lời giải:

a) $small 4^{a}=sqrt[5]{1024}$

⇔ $small 4^{a}=sqrt[5]{4^{5}}$

⇔ $small small 4^{a}=4$ ⇔ a = 1

b) $sqrt{frac{5}{2}}left ( frac{2}{5} ight )^{x+1}=frac{8}{125}$

⇔ $small dpi{100} g_white fn_cm small left ( frac{2}{5} ight )^{frac{-1}{2}}.left ( frac{2}{5} ight )^{(x+1)}=left ( frac{2}{5} ight )^{3}$

⇔ $small left ( frac{2}{5} ight )^{(x+frac{1}{2})}=left ( frac{2}{5} ight )^{3}$

⇔ $small x+frac{1}{2}=3$

⇔ $small x=frac{5}{2}$

° Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho

a) Cho log₂14 = a. Tính log₄₉32 theo a

b) Cho log₁₅3 = a. Tính log₂₅15 theo a

* Lời giải:

a) log₄₉32 = log₄₉2⁵ = 5log₄₉2 = 5.log_7²2 = (5/2)log₇2

Ta có: log₂14 = log₂7.2 = log₂7 + log₂2 = 1+log₂7 = a (theo đề bài)

⇒ log₂7 = a-1 = (1/log₇2)⇒ log₇2 = 1/(a-1)

vậy log₄₉32 = (5/2)(log₇2)=(5/2)(1/(a-1)) = 5/2(a-1)

b) log₂₅15 = log_5²15= (1/2)log₅(5.3) = (1/2)(log₅5 + log₅3) = (1/2)(1+log₅3)

Ta có: log₁₅3 = 1/(log₃15) = 1/(log₃3 + log₃5) = 1/(1+log₃5)

⇒ 1/(1+log₃5) = a ⇒ (1+log₃5) =1/a ⇒ log₃5 =(1-a)/a ⇒ log₅3 = a/(1-a)

Vậy log₂₅15 = (1/2)(1+log₅3) = (1/2)(1+a/(1-a))=1/(2-2a)

° Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: log₃₀3 = a; log₃₀5 =b Tính log₃₀1350 theo a,b.

* Lời giải:

- Ta có: log₃₀1350 = log₃₀(10.3.3.3.5) = log₃₀10 + log₃₀3³ + log₃₀5

= log₃₀10 + 3log₃₀3 + b = log₃₀10 + 3a + b. (*)

- Giờ ta đi tìm log₃₀10 theo a,b.

- Bài ra, ta có: $small log_{30}3=frac{1}{log_{3}30}=frac{1}{log_{3}(3.10)}$ $small =frac{1}{log_{3}3 + log_{3}10}=frac{1}{1+log_{3}10}=a$

$small Rightarrow 1+log_{3}10=frac{1}{a}Rightarrow log_{3}10=frac{1}{a}-1$ $small Rightarrow log_{3}10=frac{1-a}{a}Rightarrow log_{10}3 =frac{1}{log_{3}10}=frac{a}{1-a}$ (**)

- Lại có: $small log_{30}10=frac{1}{log_{10}30}=frac{1}{log_{10}(10.3)}$ $small =frac{1}{log_{10}10+log_{10}3}=frac{1}{1+log_{10}3}$ (***)

- Từ (**), ta có: $small 1+log_{10}3=1+frac{a}{1-a}=frac{1}{1-a}$

- Từ (***) $small Rightarrow frac{1}{1+log_{10}3}=frac{1}{frac{1}{1-a}}=1-a$ $small Rightarrow log_{30}10=1-a$

- Thế vào (*) ta được: log₃₀1350 = 1 - a + 3a + b = 2a + b + 1

>> Hàm số mũ và logarit, bài tập áp dụng

Hy vọng với phần ôn tập về lũy thừa và logarit ở trên có bài tập và hướng dẫn lời giải ở trên sẽ giúp ích cho các em, mọi thắc mắc về các dạng toán lũy thừa và logarit các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để nhận được hướng dẫn nhé, chúc các em học tập tốt.

Lũy thừa và Logarit, bài tập áp dụng - Toán 12

Tags:

Đánh giá & nhận xét