Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và logarit, bài tập áp dụng - Toán 12

Ở nội dung bài viết này, chúng ta sẽ cùng ôn tập kiến thức về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và logarit kèm theo một số bài tập có lời giải chi tiết để củng cố kỹ năng giải toán.

I. Tóm tắt về Hàm số luỹ thừa và hàm số mũ

1. Hàm số lũy thừa

• Định nghĩa: Hàm số có dạng $y = x^{\alpha}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$.

• Tập xác định ($D$):

  • $D = \mathbb{R}$ với $\alpha$ nguyên dương.

  • $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0$.

  • $D = (0, +\infty)$ với $\alpha$ không nguyên.

• Đạo hàm: Hàm số $y = x^{\alpha}$ có đạo hàm với mọi $x$ thuộc tập xác định và $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}$.

• Tính chất trên khoảng $(0, +\infty)$:

  • Đồ thị luôn đi qua điểm $(1; 1)$.

  • Khi $\alpha > 0$: Hàm số luôn đồng biến, đồ thị không có tiệm cận.

  • Khi $\alpha < 0$: Hàm số luôn nghịch biến, đồ thị có tiệm cận ngang là trục $Ox$, tiệm cận đứng là trục $Oy$.

2. Hàm số mũ

• Định nghĩa: Hàm số có dạng $y = a^x$ với $0 < a \neq 1$.

• Tập xác định & Tập giá trị: $D = \mathbb{R}$; tập giá trị là $(0, +\infty)$.

• Đạo hàm:

  • $(a^x)' = a^x \ln a$.

  • Đặc biệt: $(e^x)' = e^x$.

• Tính chất:

  • Khi $a > 1$: Hàm số đồng biến.

  • Khi $0 < a < 1$: Hàm số nghịch biến.

• Đồ thị: Luôn đi qua điểm $(0; 1), (1; a)$, nằm phía trên trục hoành và nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang.

• Lãi kép: Là hình thức tiền lãi của kỳ hạn trước được cộng dồn vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn sau.

  • Công thức: $S_n = A(1+r)^n$.

  • Trong đó: $A$ là tiền gốc, $r$ là lãi suất, $n$ là số kỳ hạn.

  • Từ công thức trên ta có: $n = \log_{(1+r)} \left(\frac{S_n}{A}\right)$; $r = \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}} - 1$; $A = \frac{S_n}{(1+r)^n}$.

3. Hàm số Logarit

• Định nghĩa: Hàm số có dạng $y = \log_a x$ với $0 < a \neq 1$.

• Tập xác định & Tập giá trị: $D = (0, +\infty)$; tập giá trị là $\mathbb{R}$.

• Đạo hàm:

  • $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

  • Đặc biệt: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

• Tính chất:

  • Khi $a > 1$: Hàm số đồng biến.

  • Khi $0 < a < 1$: Hàm số nghịch biến.

• Đồ thị: Luôn đi qua điểm $(1; 0), (a; 1)$, nằm phía bên phải trục tung và nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng.

II. Bài tập áp dụng hàm lũy thừa, mũ và logarit

Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số

1. $y = e^{3x} \Rightarrow y' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$.

2. $y = 2^x \Rightarrow y' = 2^x \ln 2$.

3. $y = 3^{1-x^2} \Rightarrow y' = 3^{1-x^2} \ln 3 \cdot (1-x^2)' = -2x \cdot 3^{1-x^2} \ln 3$.

Bài tập 2: Xác định tập xác định của hàm số

1. $y = x^3$: $D = \mathbb{R}$ (vì $\alpha = 3$ nguyên dương).

2. $y = x^{-3}$: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (vì $\alpha = -3$ nguyên âm).

3. $y = x^{2/3}$: $D = (0, +\infty)$ (vì $\alpha$ hữu tỉ, không nguyên).

4. $y = x^{-\sqrt{2}}$: $D = (0, +\infty)$ (vì $\alpha$ vô tỉ, không nguyên).

Bài tập 3: Tính đạo hàm hàm số hợp

1. $y = 2^{2x+3} \Rightarrow y' = 2 \cdot 2^{2x+3} \ln 2$.

2. $y = (x^2 - 2x + 2)e^x \Rightarrow y' = (2x-2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x$.

Bài tập 4: Bài toán lãi kép (Tìm thời gian)

Bạn An gửi tiết kiệm $1.000.000$ đồng với lãi suất $0,58\%$/tháng. Hỏi phải gửi bao nhiêu tháng để nhận được số tiền ít nhất $1.300.000$ đồng?

• Giải: $n = \log_{1,0058} \left(\frac{1.300.000}{1.000.000}\right) \approx 45,37$.

• Kết luận: Bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng.

Bài tập 5: Bài toán lãi kép (Tìm lãi suất)

Gửi $58.000.000$ đồng trong $8$ tháng lĩnh về được $61.329.000$ đồng. Tìm lãi suất hàng tháng?

• Giải: $r\% = \sqrt[8]{\frac{61.329.000}{58.000.000}} - 1 \approx 0,7\%$.

Bài tập 6: So sánh hiệu quả giữa các hình thức gửi lãi kép

Đề bài: Chú Nam gửi vào ngân hàng $10$ triệu đồng với lãi suất $5\%$/năm.

• a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau khi gửi ngân hàng $10$ năm.

• b) Với số tiền $10$ triệu đó, nếu chú Nam gửi ngân hàng với lãi kép $(5/12)\%$ trên tháng thì sau $10$ năm chú Nam nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn so với cách gửi trên?

Lời giải:

• a) Gửi theo năm (kỳ hạn 1 năm):

  Áp dụng công thức lãi kép với $A = 10$, $r = 5\% = 0,05$, $n = 10$.

  Số tiền nhận được là: $S_{10} = 10 \cdot (1 + 0,05)^{10} \approx 16,288946$ (triệu đồng).

• b) Gửi theo tháng (kỳ hạn 1 tháng):

  Sau $10$ năm, số kỳ hạn gửi là $n = 10 \cdot 12 = 120$ tháng. Lãi suất mỗi tháng là $r = \frac{5}{12}\% = \frac{5}{1200}$.

  Số tiền nhận được là: $S_{120} = 10 \cdot \left(1 + \frac{5}{1200}\right)^{120} \approx 16,470095$ (triệu đồng).

Kết luận: So với cách gửi đầu tiên, nếu chú Nam gửi theo hình thức lãi kép theo tháng thì sau $10$ năm sẽ nhận được số tiền nhiều hơn.

> Nhận xét tổng kết: Qua các bài tập trên, các em có thể thấy rằng việc tìm nguyên hàm, đạo hàm hay giải bài toán lãi thực tế đều xoay quanh việc vận dụng linh hoạt các công thức lũy thừa, mũ và logarit.

• Đối với hàm số lũy thừa, cần đặc biệt lưu ý điều kiện của số mũ $\alpha$ để xác định tập xác định chính xác.

• Đối với bài toán lãi kép, việc xác định đúng "kỳ hạn" và "số kỳ hạn" là mấu chốt để không bị nhầm lẫn khi bấm máy tính.