Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng - Toán 12

Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp công thức toán 12 ôn thi ĐH thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình Logarit cơ bản

+ Phương trình log_ax = b  (0<a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b

2. Bất phương trình Logarit cơ bản

+ Xét bất phương trình log_ax > b:

- Nếu a>1 thì log_ax > b ⇔ x > a^b

- Nếu 0<a<1 thì log_ax > b ⇔ 0 < x < a^b

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Giải phương trình logarit, bất PT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

+ Lưu ý: Đối với các PT, BPT logarit ta cần đặt điều kiện để các biểu thức log_af(x) có nghĩa, tức là f(x) ≥ 0.

2. Giải phương trình, bất PT Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Với các phương trình, bất PT logarit mà có thể biểu diễn theo biểu thức log_af(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = log_af(x).

+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức log_af(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét (có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.

3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá

+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a^t  PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT

* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a) log₃(2x+1) = log₃5

b) log₂(x+3) = log₂(2x²-x-1)

c) log₅(x-1)  = 2

d) log₂(x-5) + log₂(x+2) = 3

* Lời giải:

a) ĐK: 2x+1 > 0 ⇔  x>(-1/2)

PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thoả ĐK)

b) ĐK: x+3>0, 2x² - x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc  (-3)<x<(-1/2)

Ta có: log₂(x+3) = log₂(2x²-x-1) ⇔ x+3 = 2x² - x - 1 ⇔ 2x² - 2x - 4 = 0

⇔ x² - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 (thoả) hoặc x = 2 (thoả)

c) ĐK: x - 1 > 0 ⇔ x > 1

Ta có:  log₅(x-1)  = 2 ⇔ x-1 = 5² ⇔ x = 26 (thoả)

d) ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log₂(x-5) + log₂(x+2) = 3 ⇔ log₂(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 2³

⇔ x² - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (thoả)

* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 1 + log₂(x-1) = log_(x-1)4

* Lời giải:

a) ĐK: x>0

Ta đặt t=log₃x khi đó PT ⇔ t² + 2t - 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3

Với t = 1 ⇔ log₃x = 1 ⇔ x = 3

Với t = -3 ⇔ log₃x = -3 ⇔ x = 3^-3 = 1/27

b) 4log₉x + log_x3 - 3 = 0   ĐK: 0<x≠1

PT ⇔ 2log₃x + 1/log₃x -3 = 0

Ta đặt t = log₃x khi đó  PT ⇔ 2t + 1/t - 3 = 0 ⇔ 2t² - 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2

Với t = 1 ⇔ log₃x = 1 ⇔ x = 3 (thoả)

Với t = 1/2 ⇔ log₃x = 1/2 ⇔ x = √3 (thoả)

c) ĐK: log₃x có nghĩa ⇔ x > 0

 Các mẫu của phân thức phải khác 0: (5+log₃x)≠0 và (1 +log₃x)≠0 ⇔ log₃x ≠ -5 và log₃x ≠ -1

 Ta đặt t = log₃x (t ≠ -1, t ≠ -5) khi đó:

⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t² + 6t + 5 ⇔ t² + 3t - 6 = 0

⇔  (thoả ĐK)

 thay t=log3x ta được kết quả: x =3^t₁ và x =3^t₂

d)  ĐK: x>0

 PT⇔ 

Đặt t=log₂x Ta được PT: t² + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x = 2 

Với t = -2 ⇔ x = 1/4

e) 1 + log₂(x-1) = log_(x-1)4

 ĐK: 0<(x-1)≠1 ⇔ 1<x≠2

 Đặt t = log₂(x-1) ta có PT: 1+t = 2/t ⇔ t² + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x-1 = 2 ⇔ x = 3

Với t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4.

* Giải phương trình Logarit áp dụng phương pháp mũ hoá

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) ln(x+3) = -1 + √3

b) log₂(5 – 2^x) = 2 – x 

* Lời giải:

a) ĐK: x-3>0 ⇔ x>3 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:

 (thoả)

b) log₂(5 – 2^x) = 2 – x 

 ĐK: 5 - 2^x > 0 ⇔ 2^x < 5

 PT ⇔

 Đặt t=2^x (t>0,t<5 do 2^x<5) ta được: 5 - t = (4/t) ⇔ t² - 5t + 4 = 0

 ⇔ t = 1 (thoả) hoặc t =4 (thoả)

 Với t = 1 ⇔  x = 0

 Với t = 4 ⇔  x = 2

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau

a) log_0,5(x+1) ≤ log₂(2-x)

b) log²x - 13logx + 36 > 0

Lời giải:

a) ĐK: x+1>0 và 2-x>0 ⇔ -1<x<2

 log_0,5(x+1) ≤ log₂(2-x) ⇔ -log₂(x+1)≤ log₂(2-x) ⇔ log₂(2-x) + log₂(x+1) ≥ 0

 ⇔ log₂(2-x)(x+1) ≥ 0 ⇔ (2-x)(x+1) ≥ 1 ⇔ -x² - x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤

 Kết hợp với  điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: 

b) ĐK: x>0

 Đặt t =logx khi đó: t² - 13t + 36 = 0 ⇔ t < 4 hoặc t > 9

 Với t < 4 ta có: logx < 4 ⇔ x < 10⁴

 Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 10⁹

 Kết hợp với  điều kiện bất phương trình có tập  nghiệm là: 

Bài tập 5: Giải các bất phương trình (các em tự giải)

a) ≤2

b) >8

c) ≤2

d) <0