Cách giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m - Toán 12 chuyên đề

10:12:0024/07/2021

Phương trình chứa tham số m luôn là dạng toán gây khó khăn cho rất nhiều em, vì để giải dạng phương trình chứa tham số cần khả năng bao quát các trường hợp có thể xảy ra, và phương trình mũ chứa tham số cũng vậy.

Vậy cách giải phương trình mũ chứa tham số m như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

Cũng cần lưu ý rằng, phương pháp trình bày dưới đây là phương pháp đồ thị hàm số, vận dụng với các bài toán có mức độ khó hơn (thường không đặt được ẩn phụ để đưa được về dạng pt bậc hai hay bậc nhất để giải theo cách ta hay làm).

• Để giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m ta cần thực hiện các bước sau:

° Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x) = T(m)

° Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D

° Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số T(m) để đường thẳng y = T(m) nằm ngang (song song Ox) cắt đồ thị hàm số y = f(x).

° Bước 4: Kết luận các giá trị của T(m) để phương trình f(x) = T(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

* Chú ý:

- Nếu hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị T(m) cần tìm là những m thỏa mãn $\small \underset{x\in D}{min}f(x)\leq T(m)\leq \underset{x\in D}{max}f(x)$

- Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = T(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.

- Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu khôngsẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sau cùng bị sai.

• Một số bài tập vận dụng giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m

* Bài tập 1: Tìm m phương trình chứa tham số sau có nghiệm:

$\small 4^{1+\sqrt{4-x^2}}-(m+2).2^{1+\sqrt{4-x^2}}+2m+1=0$ (*)

* Lời giải:

- Điều kiện: x∈[-2;2]

Đặt $\small t=2^{1+\sqrt{4-x^2}}$ x∈[-2;2] suy ra t∈[2;8]

Khi đó: $\small (*)\Leftrightarrow t^2-(m+2)t+2m+1=0$

$\small \Leftrightarrow (t-2)m=t^2-2t+1\: \: (1)$

Với t = 2 thì 0.m = 1 (vô lý) vậy t = 2 ko phải là nghiệm của pt.

Với t ≠ 2 ta chia 2 vế cho t - 2, ta được: $\small m=\frac{t^2-2t+1}{t-2},\: \: t\in \left [ 2;8 \right ]$

Xét hàm số $\small f(t)=\frac{t^2-2t+1}{t-2},\: \: t\in \left [ 2;8 \right ]$

ta có: $\small f'(t)=\frac{t^2-4t+3}{(t-2)^2}$

$\small f'(t)=0\Leftrightarrow \frac{t^2-4t+3}{(t-2)^2}=0$ $\small \Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t=1\: (L)\\ t=3 \end{matrix} \right.$

Đối chiếu điều kiện ta chỉ nhận t = 3 (loại t = 1).

Ta có bảng biến thiên như sau: bảng biến thiên bài 1 Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 4.

* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình chứa tham số sau:

$\small 5^{x^2+2mx+2}-5^{2x^2+4mx+2+m}=x^2+2mx+m$ (*)

* Lời giải:

Đặt t = x² + 2mx + 2, phương trình (*) trở thành:

5^t - 5^{2t + m - 2} = t + m - 2

⇔ 5^t + t = 5^{2t + m - 2} + 2t + m - 2 (1)

+) Xét hàm số: f(t) = 5^t + t.

- TXĐ: D = R.

- Ta có: f'(t) = 5^t.lnt + 1 >0 ∀x ∈ D ⇒ hàm số đồng biến trên D.

Vậy có (1) ⇔ f(t) = f(2t + m - 2)

⇔ t = 2t + m - 2 ⇔ t + m - 2 = 0

⇔ x² + 2mx + 2 + m - 2 = 0

⇔ x² + 2mx + m = 0 (2)

Xét phương trình (2) ta có: Δ' = m² - m

- Nếu Δ' < 0 ⇔ m² - m < 0 ⇔ 0 < m < 1 thì pt(2) vô nghiệm suy ra pt(*) vô nghiệm.

- Nếu Δ' = 0 ⇔ m² - m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 thì pt(2) có nghiệm kép.

Với m = 0 pt(*) có nghiệm x = 0

Với m = 1 pt(*) có nghiệm x = -1.

- Nếu Δ' > 0 ⇔ m² - m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1 thì pt(2) có hai nghiệm phân biệt. $\small x_1=-m+\sqrt{m^2-m}$ và $\small x_2=-m-\sqrt{m^2-m}$

* Bài tập 3: Tìm m để phương trình mũ sau có 4 nghiệm phân biệt:

$\small m.2^{x^2-5x+6}+2^{1-x^2}=2.2^{6-5x}+m$ (*)

* Lời giải:

- Ta có $\small (*)\Leftrightarrow m.2^{x^2-5x+6}+2^{1-x^2}=2^{1-x^2+x^2}.2^{6-5x} +m$

$\small \Leftrightarrow m.2^{x^2-5x+6}+2^{1-x^2}=2^{1-x^2}.2^{x^2-5x+6} +m\: (1)$

Đặt $\small u=2^{x^2-5x+6}$ và $\small v=2^{1-x^2}$ với u,v > 0. Khi đó pt(1) trở thành

m.u + v = uv + m ⇔ m.u - m + v - uv = 0

⇔ m(u - 1) - v(u - 1) = 0 ⇔ (u - 1)(m - v) = 0

⇔ u - 1 = 0 hoặc m - v = 0

⇔ u = 1 hoặc m = v.

Với u = 1 ta có: $\small 2^{x^2-5x + 6}=1$

$\small \Leftrightarrow x^2-5x + 6=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=3 \end{matrix} \right.$

Với v = m ta có: $\small 2^{1-x^2}=m$ (2)

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0\\ 1-x^2=log_2m \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0\\ x^2=1-log_2m \end{matrix}\right.$

Để pt(*) có 4 nghiệm thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} m>0\\ 1-log_2m>0\\ 1-log_2m\neq 4\\ 1-log_2m\neq 9 \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} m>0\\ m<2\\ m\neq \frac{1}{8}\\ m\neq \frac{1}{256} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\in (0;2) \left \{ \frac{1}{256}; \frac{1}{8} \right \}$

* Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\small 2.4^{\sqrt{x}-1}-5.2^{\sqrt{x}-1}+m=0$ (*)

* Lời giải:

- Điều kiện x≥0

Đặt $\small t=2^{\sqrt{x}-1}$ Điều kiện $\small t\geq \frac{1}{2}$ vì $\small {\sqrt{x}-1}\geq -1$

Khi đó (*) trở thành: 2t² - 5t + m = 0 (1)

Đến đây ta có 2 cách giải:

+ Cách 1: Giải theo dạng pt bậc 2 với t, ta có: Δ = 25 + 8m

- Nếu Δ < 0 ⇔ 25 - 8m < 0 ⇔ m > 25/8 pt(1) vô nghiệm nên pt(*) vô nghiệm

- Nếu Δ = 0 ⇔ 25 - 8m = 0 ⇔ m = 25/8 pt(1) có nghiệm kép, nên pt(*) có nghiệm x = 5/4 (thỏa đk)

- Nếu Δ > 0 ⇔ 25 - 8m > 0 ⇔ m < 25/8 pt(1) có 2 nghiệm phân biệt.

$\small \fn_cm \small t_1=\frac{5+\sqrt{25-8m}}{4};\: \: t_2=\frac{5-\sqrt{25-8m}}{4}$

ta thấy trong 2 nghiệm trên có ít nhất nghiệm t₁ > 1/2 (thỏa điều kiện) nên có nghiệm x thỏa điều kiện.

Kết luận: Với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số: (1) ⇔ -2t² + 5t = m

Xé hàm số y = -2t² + 5t trên đoạn [1/2;+∞)

Ta có: y' = -4t + 5.

Cho y' = 0 ⇔ -4t + 5 = 0 ⇔ t = 5/4 (thỏa)

Ta có bảng biến thiên. bảng biến thiên bài tập 3 phương trình mũ

Từ bảng biến thiên ta thấy với m ≤ 25/8 thì pt(*) có nghiệm.

* Bài tập 5: Giải và biện luậm theo m số nghiệm của phương trình sau:

$\small 2^x+3=m.\sqrt{4^x+1}$ (*)

* Lời giải:

- Đặt t = 2^x , điều kiện t > 0. Khi đó

$\small (*)\Leftrightarrow t+3=m.\sqrt{t^2+1}$ $\small \Leftrightarrow m=\frac{t+3}{\sqrt{t^2+1}}\: \: (1)$

Xét hàm số: $\small y=f(t)=\frac{t+3}{\sqrt{t^2+1}}$ xác định trên tập D = (0;+∞)

Ta có: $\small f'(t)=\frac{1-3t}{(t^2+1)\sqrt{t^2+1}}$ cho f'(t) = 0 ⇔ 1 - 3t = 0 ⇔ t = 1/3.

- Bảng biến thiên: bảng biến thiên bài tập 4 phương trình mũ Từ bảng biến thiên ta thấy:

Với $\small m> \sqrt{10}$ hoặc $\small m<1$ thì phương trình vô nghiệm

Với $\small 1<m\leq 3$ phương trình có nghiệm duy nhất.

Với $\small 3<m\leq \sqrt{10}$ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy, với bài viết về cách giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m ở trên HayHocHoi hy vọng các bạn có thêm phương pháp giải phương trình mũ để vận dụng trong các dạng toán tương tự.

Cách giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số m - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét