Cách tìm cực trị của hàm số bậc 2 (tìm cực đại, cực tiểu của hàm số bậc 2) - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm cực trị của hàm số bậc 2, giúp các em giải đáp các thắc mắc như: Hàm số bậc 2 có mấy cực trị? Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là gì?

I. Cách tìm cực trị của hàm số bậc 2 chi tiết nhất

Xét hàm số bậc hai tổng quát có dạng:

Để tìm điểm cực trị của hàm số này, các em thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số. Đối với hàm bậc 2, tập xác định luôn là $D = \mathbb{R}$.

• Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 2ax + b$.

• Bước 3: Giải phương trình $y' = 0$ để tìm nghiệm:

  $$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

• Bước 4: Lập bảng biến thiên để xét dấu đạo hàm.

Kết luận về cực trị:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $y'$ luôn đổi dấu khi đi qua điểm $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Do đó, hàm số bậc 2 luôn có duy nhất một cực trị. Cụ thể:

• Nếu $a < 0$: Hàm số đạt cực đại tại $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

• Nếu $a > 0$: Hàm số đạt cực tiểu tại $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

II. Bài tập vận dụng có lời giải

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số $f(x) = -x^2 + 1$

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $f'(x) = -2x$.

• Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

• Bảng biến thiên: Đạo hàm dương khi $x < 0$ và âm khi $x > 0$.

Kết luận: Từ bảng biến thiên, ta thấy $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số. Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là $(0; 1)$.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $f'(x) = 2x - 4$.

• Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

• Bảng biến thiên: Đạo hàm âm khi $x < 2$ và dương khi $x > 2$.

Kết luận: Từ bảng biến thiên, hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 2$, nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu là $(2; -1)$.