Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình (cực hay) - Toán 12

Bài viết này sẽ hệ thống lại phương pháp giải chi tiết, các dạng biến thể và bài tập minh họa giúp các em làm chủ chuyên đề này.

I. Phương pháp giải tổng quát

Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu biện luận số nghiệm của phương trình $g(x; m) = 0$ dựa trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y = f(x)$ đã vẽ trước đó.

Bước 1: Biến đổi phương trình

Đưa phương trình về dạng: $f(x) = h(m)$

• Trong đó vế trái $f(x)$ là hàm số đã có đồ thị $(C)$.

• Vế phải $h(m)$ là một biểu thức chỉ chứa tham số $m$.

Bước 2: Xác định bản chất hình học

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d): y = h(m)$.

• Đường thẳng $y = h(m)$ luôn song song hoặc trùng với trục hoành $Ox$.

• Vị trí của $(d)$ sẽ thay đổi (lên hoặc xuống) tùy thuộc vào giá trị của tham số $m$.

Bước 3: Biện luận dựa vào đồ thị

Quan sát các điểm cực trị, các nhánh của đồ thị $(C)$ để xác định số giao điểm khi đường thẳng $(d)$ di chuyển:

• Nếu $(d)$ không cắt $(C) \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

• Nếu $(d)$ cắt $(C)$ tại $n$ điểm $\Rightarrow$ Phương trình có $n$ nghiệm.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Hàm số bậc ba $y = x^3 + 3x^2 - 2$

Đề bài: Dựa vào đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 2$,

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 - 2 - m = 0$ $(*)$.

Lời giải:

a) Các em có thể tự làm, các bước tóm tắt như sau:

 y' = 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

 y'' = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1

- Đồ thị có điểm cực đại là (-2;2), cực tiểu là (0;-2) và điểm uốn là (-1;0).

- Biểu diễn đồ thị sẽ như sau:

b) Ta có: x³ + 3x² - 2 - m = 0 ⇔ x³ + 3x² - 2 = m (dạng f(x) = m). (*)

• f(x) = x³ + 3x² - 2 là đồ thị đã có ở trên, số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m.

- Nên từ đồ thị hàm số ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình (*) như sau:

- Với m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm

- Với m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

- Với -2 < m < 2 phương trình (*) có 3 nghiệm

- Với m = - 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

- Với m < -2 phương trình (*) có 1 nghiệm

• Hoặc có thể viết gọn như sau:

- Với m < -2 hoặc m > 2 phương trình (*) có 1 nghiệm (đơn)

- Với m = -2 hoặc m = 2 phương trình (*) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)

- Với -2 < m < 2 phương trình 2 có 3 nghiệm (đơn).

Ví dụ 2: Hàm số bậc bốn trùng phương

Đề bài: Cho đồ thị $(C): y = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + \frac{3}{2}$. 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + \frac{3}{2}$. 

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ - 6x² + 3 = m.

Lời giải:

a) Khảo sát: y=frac{1}{2}x^4-3x^2+frac{3}{2}

¤ TXĐ: D = R

¤ Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

 f'(x) = 2x³ - 6x = 2x(x² - 3)

 f'(x) = 0 ⇔ 2x(x² - 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực: underset{x
ightarrow pm infty }{lim(y)}=+infty

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số dạng như sau:

b) Ta có: f"(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1)

 f"(x) = 0 ⇔ 6(x² - 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là: y = f'(-1)(x + 1) - 1 ⇒ y = 4x + 3

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là: y = f'(1)(x - 1) - 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có:  x^4-6x^2+3=mLeftrightarrow frac{1}{2}x^4-3x^2+frac{3}{2}=frac{m}{2}

• Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

• Từ đồ thị (C) ở trên ta nhận thấy:

- Với  m/2 < - 3 ⇔ m < -6: Đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C) ⇒ phương trình vô nghiệm.

- Với m/2 = -3 ⇔ m = -6: Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu ⇒ phương trình có 2 nghiệm.

- Với -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

- Với m/2 = 3/2 ⇔ m = 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.

- Với m/2 > 3/2 ⇔ m > 3: Đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Kết luận:

- Với m < - 6 thì PT vô nghiệm.

- Với m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

- Với m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

- Với – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

Ví dụ 3: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Đề bài: Cho $(C): y = \frac{2x^2 - 5x + 4}{x - 1}$. 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2x² - (5 + m)x + 4 + m = 0 (*).

Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

b) Ta có: 2x² - (5 + m)x + 4 + m = 0

Biến đổi phương trình: $m = \frac{2x^2 - 5x + 4}{x - 1}$. Với các giá trị cực trị $y_{CĐ} = 1 - 2\sqrt{2}$ và $y_{CT} = 1 + 2\sqrt{2}$: (**)

• Ta thấy (**) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = m chạy song song trục Ox. Từ đồ thị ta có:

• $m < 1 - 2\sqrt{2}$ hoặc $m > 1 + 2\sqrt{2}$: Có 2 nghiệm.

• $m = 1 - 2\sqrt{2}$ hoặc $m = 1 + 2\sqrt{2}$: Có 1 nghiệm.

• $1 - 2\sqrt{2} < m < 1 + 2\sqrt{2}$: Vô nghiệm.

Ví dụ 4: Sự tương giao với đường thẳng có hệ số góc cố định

Bài toán: Cho $(C): y = \frac{x+1}{x-1}$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết PT tiếp tuyến với (C) và song song với (d): y = -2x.

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 2x² - (m+1)x + m + 1 = 0.

° Lời giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của (C) các em tự làm, ta có dạng đồ thị như sau:

b) Tiếp tuyến song song với (d): y = -2x nên có hệ số góc y' = -2.

mà $y'=\frac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow \frac{-2}{(x-1)^2}=-2$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\Rightarrow y=-1 \\x=2\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.$

- Vậy có 2 tiếp tuyến:

 Tiếp tuyến (T₁) đi qua điểm (0;-1) có hệ số góc -2 là: y = -2x - 1.

 Tiếp tuyến (T₂) đi qua điểm (2;3) có hệ số góc -2 là: y = -2x + 7.

c) Ta có: $2x^2-(m+1)x+m+1=0$ $\Leftrightarrow 2x^2-x+1=m(x-1)$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2-2x}{x-1}+\frac{x+1}{x-1}=m$ $\Leftrightarrow 2x+\frac{x+1}{x-1}=m$ $\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}=-2x + m$ (*)

• Ta thấy (*) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d₁): y = -2x + m. (d₁ là đường thẳng song song với 2 tiếp tuyến ở câu b). Như vậy, ta có kết luận sau:

- Với -1 < m < 7: PT(*) vô nghiệm

- Với m = -1 hoặc m = 7: PT (*) có 1 nghiệm

- Với m < -1 hoặc m > 7: PT (*) có 2 nghiệm

Ví dụ 5: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối $y = f(|x|)$

Bài toán: Cho $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x - 1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm a để phương trình: frac{x^2-x+2}{x-1}=ax-a+1 có nghiệm.

c) Biện luận số nghiệm: $\frac{x^2 - |x| + 2}{|x| - 1} = \log_2 m$.

Lời giải:

a) Các em tự khảo sát chi tiết và vẽ đồ thị

$f'(x)=\frac{x^2-x-1}{(x-1)^2}=0$ $\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2} \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left [\begin{matrix} y_{1}=f(1-\sqrt{2})=1-2\sqrt{2}\\ y_{2}=f(1+\sqrt{2})=1+2\sqrt{2} \end{matrix}\right.

f(x)=x+frac{2}{x-1} ⇒ TCĐ: x = 1; TCX: y = x.

- Đồ thị dạng như sau:

b) Nghiệm của PT: frac{x^2-x+2}{x-1}=ax-a+1 (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = ax - a + 1.

- Ta thấy, pt (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1) nên để pt (*) có nghiệm thì (d) phải nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 tiệm cận đứng x = 1 (hệ số góc k = +∞) và tiệm cận xiên y = x (hệ số góc k = 1).

⇒ Để pt (*) có nghiệm thì: 1 < a < +∞.

(Đồ thị minh họa đường y = 2x - 1 tương ứng với a = 2 của đường thẳng y = ax - a + 1).

c) Do $y=f(\left |x\right |)= \frac{x^2-\left |x \right |+2}{\left |x \right |-1}$ là hàm chẵn (vì f(x) = f(-x)). nên đồ thị (C') của y = f(|x|) nhận Oy làm trục đối xứng và được vẽ từ (C): y = f(x) theo quy tắc:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

- Như vậy nghiệm của pt f(|x|) = log₂m (m>0) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = log₂m và đồ thị (C'). Từ đồ thị ta có:

- Nếu log₂m < -2 ⇔ 0 < m < 1/4 thì pt có 2 nghiệm

- Nếu log₂m = -2 ⇔ m = 1/4 thì pt có 1 nghiệm

- Nếu $-2 < log_2m < 1 + 2\sqrt{2} \Leftrightarrow  \frac{1}{4}<m<2^{1+2\sqrt{2}}$ thì pt vô nghiệm

- Nếu $log_2m = 1 + 2\sqrt{2} \Leftrightarrow  m=2^{1+2\sqrt{2}}$ thì pt có 2 nghiệm

- Nếu %log_2m > 1 + 2\sqrt{2} \Leftrightarrow  m>2^{1+2\sqrt{2}}%thì pt có 4 nghiệm

* Một dạng biến thể khác của bài toán dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình đó là. Tìm m để pt có bao nhiêu nghiệm như ví dụ sau.

Ví dụ 6: Hàm số bậc 3

Bài toán: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = 4x³ - 3x - 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C).

b) Tìm m để để 4|x|³ - 3|x| - mx + m - 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a) Các em tự làm chi tiết:

 f'(x) = 12x² - 3 = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = -1/2

 f''(x) = 24x = 0 ⇔ x = 0.

 ⇒ Cực đại (-1/2;0), cực tiểu (1/2;-2) và điểm uốn (0;-1).

- Đồ thị có dạng như sau:

b) Có: $4|x|^3 - 3|x| - mx + m - 1 = 0$  $\Leftrightarrow 4|x|^3 - 3|x| - 1=m(x-1)$ (*)

• Đồ thị (C'): $y=f(\left |x \right |)=4|x|^3 - 3|x| - 1$ là hàm chẵn (tức f(-x) = f(x)) nên đối xứng qua trục Oy. Đồ thị (C') được vẽ từ (C) với quy tắc:

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng phần này qua Oy. Ta được đồ thị có dạng như sau:

• Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d_m): y = m(x-1) với (C').

- Ta thấy (d_m) luôn đi qua điểm A(1,0) ∈ (C') từ đồ thị ta thấy để (*) có 4 nghiệm thì đường thẳng (d_m) (màu đỏ cam hình trên) phải nằm giữa 2 đường (d₁) và (d₂) (minh họa đường màu tím).

- Phương trình đường thẳng (d₁) qua điểm (1;0) và (0;-1) có pt: y = x - 1 (có hệ số góc k₁ = 1).

- Phương trình đường thẳng (d₂) qua điểm (1;0) có hệ số góc k₂ có pt dạng: y = k₂(x - 1) và tiếp xúc với (C') tại điểm có hoành độ x₀ < 0, nên ta có:

$\left\{\begin{matrix}-4x^3+3x-1=k_2(x-1)\\3(1-4x^2)=k_2\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow -4x^3+3x-1=3(1-4x^2)(x-1)$

$\Leftrightarrow x(1-4x^2)+2x-1=3(1-4x^2)(x-1)$

$\Leftrightarrow (1-4x^2)[x -3(x-1)]+2x-1=0$

$\Leftrightarrow (1-2x)(1+2x)(-2x+3)+2x-1=0$

$\Leftrightarrow (2x-1)\left[(1+2x)(2x-3)+1 \right]=0$

$\Leftrightarrow  2(2x-1)(2x^2-2x-1)=0$

- Do x₀ < 0 nên $x_{0}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow k_2=6\sqrt{3}-9$

- Từ đồ thị (C') ta thấy để pt có 4 nghiệm thì (d_m): y =m(x-1) phải cắt (C') tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi k₁ < m < k₂ $\Leftrightarrow 1<m<6\sqrt{3}-9$

III. Những lưu ý khi làm bài

• Luôn biến đổi cô lập $m$ sao cho một vế giống hệt hàm số đã vẽ đồ thị.

• Cẩn thận khi vế phải là một hàm theo $m$ (như $m/2$ hay $\log_2 m$), cần giải điều kiện của $m$ sau khi biện luận.

• Với hàm trị tuyệt đối, cần nhớ quy tắc biến đổi đồ thị đối xứng qua $Oy$ hoặc trục hoành $Ox$.